Adivinanza o logaritmos?


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1 Nivel:.º Medio Sector: Matemática Unidad temática: Álgebra y funciones Actualmente un alumno está cursando el Cuarto Año Medio. Tiempo atrás estuvo de cumpleaños y recibió de regalo diferentes cantidades de dinero, así: - Su papá: $ Su mamá: $ Sus abuelos paternos: $ Sus abuelos maternos: $ Sus padrinos: $ El joven depositó todo el dinero en un banco. Escogió un depósito a plazo que otorgaba un interés compuesto anual de un 5%, que se renovaba automáticamente. Desde la fecha de ese cumpleaños ha pasado un tiempo. Ayer este joven fue a la sucursal bancaria y retiró todo su dinero. Desde su ventanilla, el cajero le pidió que llenara un formulario. Enseguida, revisó ese formulario haciendo unos visto bueno, lo timbró y le entregó $ Nuestro amigo tiene curiosidad por saber cuánto tiempo ha pasado desde que depositó el dinero en el banco. No recuerda si han pasado tres o cuatro años. Cómo saberlo? Se trata de una adivinanza? Se puede saber con certeza? Vamos por partes.. Cuál es la suma total del dinero recibido como regalo?. Cuál es el capital inicial del depósito bancario?. Cuál es la tasa del interés compuesto anual que ofreció el banco?. Escribe ese porcentaje como fracción decimal. 5. Escribe esa fracción decimal como número decimal. 6. Cuál es el monto total del dinero retirado desde el banco?

2 7. Cuál es el interés ganado en este tiempo, es decir, la cantidad de dinero que ha ganado? El interés bancario es compuesto cuando al cabo de períodos de tiempo (fijados de antemano) los intereses se acumulan al capital para producir nuevos intereses. La ecuación que se utiliza para realizar cálculos de interés compuesto es: M = C ( + i ) t Donde: C: es el capital, o sea, la cantidad de dinero depositado. i: es la tasa o porcentaje del interés compuesto. M: es el monto total del dinero obtenido, o sea, la suma entre capital e interés ganado. t: es el período de tiempo. 8. Usando la ecuación o fórmula antes indicada, reemplaza en ella los valores conocidos. 9. Cuál es la incógnita? 0. Reduce la expresión anterior hasta que a un lado de la igualdad quede una potencia con base conocida y exponente desconocido.. Si de una potencia conocemos su base y su valor (resultado), pero desconocemos el exponente, qué procedimiento matemático usamos para calcular el exponente?. Aplica ese procedimiento en la igualdad, usa calculadora científica y resuelve. Aproxima el resultado al entero más próximo.. Cuál es el resultado?. Es decir, cuánto tiempo (años) ha pasado desde que este joven depositó el dinero en el banco?

3 I. Ejercicios de selección múltiple ) El valor de log 7 es: A) 9 C) -

4 D) 7 E) ) El valor de la expresión es: A) C) 6 D) E) 6 ) El valor de log 0,0 5 es: A) - C) - D) E) - ) El valor de es: A) - C) D) - E)

5 5) En la expresión log log 8 = log 8 A, el valor de A es: A) C) 96 D) E) 5 6) Dados log = u y log = b. Entonces, log 0 es: A) u + v + C) u + v D) u + v E) 0 + v 7) Si g(x)= log (x), entonces g(8) g(6) es: A) - C) - D) E) - 8) Si log 5 = a, entonces: A) a a 5 C) a + D) a E) 0 - a 5

6 9) Sea a un número cuyo logaritmo en base 9 corresponde a 0,75. Entonces, el valor de la expresión a es: A) - - C) D) 0,75 E) 0) Si el log n = a, entonces el valor de la expresión log A) C) D) E) 5 a 5 a 7 a a a n n n n es: ) Si g(x) = log n, entonces g (n ) es igual a: x A) C) D) ) Si log = n, entonces log 9 es: A) n n C) n 6

7 D) n n E) ) Sabiendo que log (7 n + 6) log ( n ) =, el valor de n es: 67 A) C) 0 D) E) Ninguna de las anteriores ) Si xy =, entonces log y x es igual a: A) 0,5 0,5 C) D) x - E) Ninguna de las anteriores 5) La solución de x = n ; si n IR, tendrá solución en los números reales si: A) n > - n > - C) n < D) n < E) n > 7

8 Si volvemos a la pregunta inicial: Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Por ejemplo, un papel que se dobla sucesivamente en dos partes iguales. La hoja de un determinado grosor tendrá al primer doblez un grosor igual al doble del primero; y en el segundo doblez tendrá un grosor equivalente a cuatro veces el primer grosor, y luego grosor 8, 6,, 6, etc. Los logaritmos tienen variadas aplicaciones en modelos de fenómenos naturales y sociales. Una de ellas es la escala Richter, utilizada en la medición de la intensidad de los sismos. En otro ejemplo práctico, vemos crecimiento exponencial en el aumento de un capital invertido a interés continuo. Ecuación exponencial es aquella en que la incógnita está en el exponente de una potencia. Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar algunos métodos alternativos: - Igualación de la base: que consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes. - Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver. - Logaritmos: cuando no podemos igualar las bases en una ecuación exponencial aplicamos logaritmos a ambos lados de la ecuación. A cuánto hay que elevar el número para obtener 7?, es decir, x = 7. La respuesta es un número irracional entre y. Este número, por definición, se denomina logaritmo en base dos de siete, lo que se anota log 7. En la expresión log a b, a se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a y b positivos y a. Por lo tanto, la definición de logaritmo es: log a b = n, si y solo si a n = b (a > 0, b > 0, a ) 8

9 La función logarítmica puede considerarse como la inversa de la función exponencial, por cuanto se cumple que: Cuando la base del logaritmo es 0, el logaritmo se llama logaritmo vulgar o de Briggs, y su base no se anota (en la calculadora se reconoce como log). Por lo tanto, el cálculo de logaritmos se aplicará cuando se necesite conocer el exponente de una expresión. Ello, cuando la igualación de las bases o el cambio de variable no se puedan aplicar. Entonces, no es adivinanza. Son logaritmos. 9

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