Resolución de problemas. Temas: VOR e ILS


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1 Resolución de problemas. Temas: VOR e ILS Autor: Mario E. Casado García 3er Curso ITT ST

2 Índice 1. Problema tema 5: VOR Problema tema 7: ILS Referencias..12 2

3 1. Problema tema 5: VOR Sea un avión que se aproxima a una estación VOR por un radial θ = 20 respecto al norte magnético en el sentido de las agujas del reloj: a) Demostrar que el equipo de a bordo VOR le indica al piloto que se está dirigiendo hacia la estación VOR b) Supongamos que el piloto desea aproximarse a la estación VOR por un radial situado 5 a la derecha del que navega actualmente. Explicar lo que el piloto debe indicar al equipo de a bordo VOR para ser guiado al radial seleccionado y las indicaciones que le dará el equipo de a bordo hasta situarse en el radial deseado. c) Supongamos que el piloto desea aproximarse a la estación VOR por un radial situado 5 a la izquierda del que navegaba en el apartado (a). Explicar lo que el piloto debe indicar al equipo de a bordo VOR para ser guiado al radial seleccionado y las indicaciones que le dará el equipo de a bordo hasta situarse en el radial deseado. d) Supongamos que nos hemos aproximado a la estación VOR por el radial θ = 20, ya hemos sobrevolado la estación y continuamos en la misma dirección. Demostrar que el equipo de a bordo VOR nos indica que nos estamos alejando de la estación. NOTAS: Los dibujos no están a escala exacta con respecto a los ángulos, se considera más importante el entendimiento de la resolución del problema que la perfección en la realización de los dibujos. 3

4 a) Para poder comprobar que el equipo de a bordo le indica al piloto que se está dirigiendo hacia la estación VOR aplicaremos la regla 1, en la cual supondremos k una constante mayor que cero. Con ángulo θ tomado desde el N norte magnético (N), y en sentido horario, trazamos una línea, radial, con una inclinación de 20 sobre ese norte magnético hacia el radiofaro VOR (origen de coordenadas), es decir, indicador a TO (X), que es lo que se nos pide que demostremos. Sobre el radial fijado (dirección hacia el origen de coordenadas) tomamos un norte magnético ficticio (N), y sobre estos trazamos un ángulo, hasta que unamos ambos, α en sentido de las agujas del reloj, el cual nos dará aplicando las reglas de trigonometría básica un ángulo α = 200, ya que (ángulos complementarios) = 200. Con estos datos ya podemos calcular δ mediante la regla 1: δ = k sen (θ 90 α) = k sen ( ) = k sen ( 270 ) = k 1 Lo que nos lleva a que δ > 0, por lo que el equipo de a bordo le indica al piloto que se está dirigiendo a la estación VOR (indicador en TO), véase la Ilustración 1. Ilustración 1: Indicación del equipo de a bordo en función de la situación relativa del avión. [3] b) En este caso el piloto desea aproximarse al radiofaro VOR por un radial situado a 5 a la derecha del que navega en el apartado a). Para explicar las indicaciones del piloto al equipo VOR e interpretar su respuesta tomamos la regla 2, en la cual tomamos k como una constante mayor que cero. Desplazamos el ángulo θ unos 5 N hacia la derecha del radial trazado en el apartado a), fijémonos en que nos estamos dirigiendo desde el primer cuadrante al tercer cuadrante, por lo que la derecha se encuentra hacia el norte magnético. 4

5 E igual que hacíamos antes fijamos un norte magnético ficticio sobre el nuevo radial y obtenemos el ángulo α, que nos dará haciendo la suma de (ángulos complementarios, ya que el nuevo radial es de 15 con respecto al norte) unos 195. Con estos datos ya podemos calcular ε mediante la regla 2: ε = k sen (θ α) = k sen ( ) = k sen ( 175 ) = k 0,0871 Lo que nos lleva a que ε < 0, reflejando que la aguja de la instrumentación VOR está hacia la derecha, véase la Ilustración 2. Esto nos indica que estamos a la izquierda del rumbo seleccionado, por lo que viramos hacia la derecha. O dicho de otra manera, el piloto tendrá que girar a la derecha porque estamos a la izquierda del radial deseado. Ilustración 2: Indicación del equipo de a bordo en función de la situación relativa del avión. [3] c) En este caso el piloto desea aproximarse al radiofaro VOR por un radial situado a 5 a la izquierda del que navega en el apartado a). Para explicar las indicaciones del piloto al equipo VOR e interpretar su respuesta tomamos la regla 2, en la cual tomamos k como una constante mayor que cero. Desplazamos el ángulo θ unos 5 N hacia la izquierda del radial trazado en el apartado a), fijémonos en que nos estamos dirigiendo desde el primer cuadrante al tercer cuadrante, por lo que la izquierda se encuentra hacia el eje horizontal. E igual que hacíamos antes fijamos un norte magnético ficticio sobre el nuevo radial y obtenemos el ángulo α, que nos dará haciendo la suma de (ángulos complementarios, ya que el nuevo radial es de 25 con respecto al norte) unos 205. Con estos datos ya podemos calcular ε mediante la regla 2: ε = k sen (θ α) = k sen ( ) = k sen ( 185 ) = k 0,0871 Lo que nos lleva a que ε > 0, reflejando que la aguja de la instrumentación VOR está hacia la izquierda, véase la Ilustración 3. Esto nos indica que estamos a la derecha del rumbo seleccionado, por lo que viraremos hacia la izquierda. O dicho de otra manera, el piloto tendrá que girar a la izquierda porque estamos a la derecha del radial deseado. 5

6 Ilustración 3: Indicación del equipo de a bordo en función de la situación relativa del avión. [3] d) Aquí consideramos que hemos sobrevolado el radiofaro VOR con el ángulo θ del apartado a) y continuamos en esa misma dirección. Para poder comprobar que el equipo de a bordo le indica al piloto que se está alejando de la estación VOR aplicaremos la regla 1, en la cual supondremos k una constante mayor que cero. N En este caso θ será el ángulo medido desde el norte magnético (N) hasta su intersección con el radial seguido, pero habiendo pasado la estación VOR, es decir, el tercer cuadrante, por lo que θ = 200, cifra que sale de sumar los 90 del primer cuadrante más los 90 del cuarto más 20 por ángulos complementarios. E igual que hacíamos antes fijamos un norte magnético ficticio sobre el nuevo radial y obtenemos el ángulo α, que nos dará haciendo la suma de (ángulos complementarios) unos 200. Con estos datos ya podemos calcular δ mediante la regla 1: δ = k sen (θ 90 α) = k sen ( ) = k sen ( 90 ) = k 1 Lo que nos lleva a que δ < 0, por lo que el equipo de a bordo le indica al piloto que se está alejando de la estación VOR (indicador en FROM), véase la Ilustración 4. Ilustración 4: Indicación del equipo de a bordo en función de la situación relativa del avión. [3] 6

7 2. Problema tema 7: ILS Sea la senda de planeo del sistema ILS formado por tres antenas. La antena inferior, situada a una altura h, está alimentada por una señal v CSB = (1+ m senω 1 t + m senω 2 t) senω 0 t. Las antenas superiores, situadas a las alturas h y h (h <h ), están alimentadas respectivamente por las señales v SBO,1 = k 1 (senω 1 t senω 2 t) senω 0 t y v SBO,2 = k 2 (senω 1 t senω 2 t) senω 0 t. a) Deduzca las expresiones de las alturas a las que deben estar situadas las antenas superiores (h y h ) y la relación entre ellas para que el plano de descenso esté situado en un ángulo de 2,5 respecto de la superficie terrestre. b) Deduzca la relación entre las alturas de las antenas (h, h y h ) para eliminar el primer eje falso. NOTA: Suponer k 1 = k 2. a) La senda de planeo sitúa el avión en el plano de descenso en el guiado vertical. Trabajaremos con pares de antenas, una vertical situada encima de la tierra y otra simulada, vertical bajo tierra, mediante reflexión total (ρ = 1) de la misma señal. Tomaremos el centro de los pares de antenas como referencia de fase y no consideraremos el desfase debido al trayecto PO (punto de avión y origen vertical de las antenas respectivamente). Véase la configuración completa de la senda de planeo en la Ilustración 7. Partimos de cómo son las señales de las antenas: Antena inferior, señal CSB: v CSB = (1+ m senω 1 t + m senω 2 t) senω 0 t Antena media, señal SBO: v SBO,1 = k 1 (senω 1 t senω 2 t) senω 0 t; h <h Antena superior, señal SBO: v SBO,2 = k 2 (senω 1 t senω 2 t) senω 0 t 1º) Señal recibida en P de la antena CSB: v CSB = (1+ m senω 1 t + m senω 2 t)[sen(ω 0 t + α) sen(ω 0 t α)] El signo negativo se debe a la reflexión, ρ = 1, α es el desfase como consecuencia de la distancia x y h es la altura a la que se encuentra la antena. Aplicando la relación trigonométrica: sen a sen b = 2cos x h sen = ; x = h sen Siendo α = = v 1 = (1 + m senω 1 t + m senω 2 t) 2 sen cosω 0 t 7

8 2º) Señal recibida en P por la antena SBO1: v SBO,1 = k 1 (senω 1 t senω 2 t)[sen(ω 0 t + α ) sen(ω 0 t α )] El signo negativo se debe a la reflexión, ρ = 1, α es el desfase como consecuencia de la distancia x y h es la altura a la que se encuentra la antena. Aplicando la relación trigonométrica: sen a sen b = 2cos x h sen = ; x = h sen Siendo α = = v 2 = 2 k 1 (senω 1 t senω 2 t) sen cosω 0 t 3º) Señal recibida en P por la antena SBO2: v SBO,2 = k 2 (senω 1 t senω 2 t)[sen (ω 0 t + α ) sen (ω 0 t α )] El signo negativo se debe a la reflexión, ρ = 1, α es el desfase como consecuencia de la distancia x y h es la altura a la que se encuentra la antena. Aplicando la relación trigonométrica: sen a sen b = 2cos x h sen = ; x = h sen Siendo α = = v 3 = 2 k 2 (senω 1 t senω 2 t) sen cosω 0 t La señal total que se recibe en P es la suma de todas las señales: v = v 1 + v 2 + v 3 Siendo k 1 = k 2 = k, sumamos y agrupamos términos: v = 2 cosω 0 t [k senω 1 t (sen α + sen α ) k senω 2 t (sen α + sen α ) + sen α + m senω 1 t sen α + m senω 2 t sen α] Agrupamos las constantes en k y operamos: v = k [1 + senω 1 t + senω 2 t] cosω 0 t v es una señal modulada en amplitud (AM) por dos tonos, uno de 150 Hz y otro de 90 Hz, los cuales modulan a la portadora (cosω 0 t) con índices de modulación m 150 y m 90. m 150 = m 90 = 8

9 En el equipo de a bordo del sistema ILS se mide la Diferencia de Profundidad de Modulación (DDM), es decir, la diferencia entre los dos índices de modulación. DDM = m 150 m 90 = = Ya que el ángulo que nos interesa es el de 2,5, y sabiendo que en el plano de descenso la profundidad de modulación será igual para ambos tonos, entonces el numerador de la expresión DDM tiene que anularse. En caso de que no se anule, y como se ha dicho antes, el equipo de a bordo mide la DDM y una aguja nos indicará, véase Ilustración 5 y 6, si el avión está por encima o por debajo del plano de descenso, dependiendo de cuál de los tonos tenga más intensidad. Por la parte superior del plano de descenso se recibirá con mayor intensidad el tono de 90 Hz y en la parte inferior el tono de 150 Hz de la onda electromagnética emitida por la senda de planeo. El numerador de la DDM se anula en dos posibles casos: 1. sen α = sen α ; lo que nos lleva a que h = h, lo cual no es coherente con lo definido en la senda de planeo ya que h < h y físicamente no es aceptable una altura negativa. 2. sen α = 0 y sen α = 0; sen = 0 = n ; con n=0, 1, 2,.. El primer nulo se produce en n = 0, lo que nos lleva a que entonces 0, ángulo que se corresponde con la superficie terrestre y no nos interesa ya que el ángulo que nos interesa es el de 2,5. Veamos pues lo que se produce para el siguiente nulo n = 1, segundo nulo: = h = ; por lo que habrá que emplear el 2º nulo. = 0 = n ; con n=0, 1, 2,.. El primer nulo se produce en n = 0, lo que nos lleva a que entonces 0, ángulo que se corresponde con la superficie terrestre y no nos interesa ya que el ángulo que nos interesa es el de 2,5. Veamos pues lo que se produce para el siguiente nulo n = 1, segundo nulo: = h = ; lo que nos lleva a que h = h, lo cual es, según hemos definido las alturas, imposible (ya que h < h ). Veamos entonces lo que pasa para el siguiente nulo, n = 2, 3º nulo: = 2 h = ; por lo que habrá que emplear el 3º nulo 9

10 Todo ello nos lleva a que h = 2h, debido a que es una constante y el sen también lo es, porque queremos un ángulo de 2,5. Ilustración 5: Sistema de aguja para el posicionamiento vertical (A) y horizontal (B) del avión en el plano de descenso. [2] Ilustración 6: Agujas de posicionamiento vertical y horizontal situadas en la pantalla del ILS del panel de instrumentos. [2] b) Vamos a tener falsos ejes en el caso de la senda de planeo. El falso eje más problemático se producirá cuando el numerador de la DDM se haga cero debido a un, por lo que habrá que intentar eliminarlo. sen sen = 0; donde es el ángulo para el cual la DDM se hace cero en un falso eje. Para h tomaremos un n = 2, ya que, como vimos en el apartado a), es el n más pequeño de los posibles, debido a que no sea ni el plano de tierra (n = 0) ni el plano de descenso (n = 1). Como veíamos antes llegaremos a la expresión: = 2 = Para solucionar este problema haremos que el denominador de la DDM se anule también, con lo que tendremos una indeterminación 0/0 y se detectará el eje falso. sen = 0 = n ; con n=0, 1, 2,.. 10

11 El primer nulo se produce en n = 0, lo que nos lleva a que entonces 0, ángulo que se corresponde con la superficie terrestre y no nos interesa. Veamos pues lo que se produce para n = 1, segundo nulo: = = Igualando las expresiones obtenidas llegamos a la conclusión de que: = h = 2h Debido a todo esto llegamos a la relación de la altura de las tres antenas: 4h = 2h = h Ilustración 7: Senda de planeo del ejercicio ILS, formado por tres antenas. [3 modificado] 11

12 3. Referencias Ampliación de Sistemas de Telecomunicación II [1] Navegación VOR, VOR, última visita 5 de mayo de [2] La aproximación ILS, última visita 12 de mayo de [3] Ampliación de Sistemas de Telecomunicación II. Curso Tema 5: VOR, Maria García Gadañón, ETSIT ITT ST. 12

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