Teoría de Colas o Fenómenos de Espera


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1 Teoría de Colas o Fenómenos de Espera Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Febrero 2011 Introducción 2 Introducción Colas o Líneas de Espera Objetivo Procesos Estocásticos, Conteo y Poisson 6 Proceso Estocástico Proceso de Conteo Proceso de Poisson Teorema 1: Teorema 2: Distribución Exponencial Modelos de Nacimiento y Muerte 15 Procesos de Nacimiento y Muerte Distribución de Probabildad Ecuaciones de Balance Proceso de Poisson Proceso Estacionario Estado Estacionario Sistema de Colas 22 Descripción del Sistema Hipótesis Consideradas Notación Notación de Kendall Fórmula de Little Modelo M/M/1 28 M/M/ Estado Estacionario L L q Fórmulas de Little Espera de los clientes Costes

2 Modelo M/M/s 36 M/M/s Estado Estacionario P n Cálculo Recursivo L q Fórmulas de Little Espera de los Clientes

3 Introducción 2 / 43 Introducción Colas: Son muy cotidianos los fenómenos en los que entidades discretas: individuos, máquinas, productos, que denominamos usualmente como clientes, utilizan adaptándose a unas normas preestablecidas unos servicios de carácter limitado que hay a su disposición. Inherente a cada fenómeno de espera está el número y la naturaleza de los servidores. Centro de Servicio: Conjunto de todos los servidores. Llegada de Clientes y Tiempo de Servicio pueden estar determinados o pueden quedar al libre albedrío del azar. Fenómenos Determinísticos. Fenómenos Probabiĺısticos. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 3 / 43 Colas o Líneas de Espera En algunos casos, los clientes son obligados a permanecer en el Centro de Servicio no sólo el tiempo de servicio sino que han de soportar una espera, formando una cola. En otros casos, el centro de servicio estará funcionando por debajo de su capacidad, con servidores desocupados. En la industria debemos tomar decisiones sin conocer: Cuándo llegarán los clientes? Cuánto tiempo será necesario para prestar servicio? El compromiso con una estructura de servicio puede llevarnos a: Servidores Desocupados: Demasiado servicio conlleva costes excesivos y pérdidas en forma de tiempos de inactividad. Colas o Esperas: Carecer de la capacidad adecuada de servicio ocasiona esperas demasiado largas en algunos momentos y pérdidas de clientes, entre otros costes. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 4 / 43 3

4 Objetivo El objetivo es lograr un balance entre costes y servicios. La Teoría de Colas no resuelve el problema, sino que modeliza el fenómeno y nos proporciona información vital para la toma de decisiones. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 5 / 43 Procesos Estocásticos, Conteo y Poisson 6 / 43 Proceso Estocástico Un fenómeno de espera suele ser modelado como un proceso estocástico, en tiempo continuo, con un número discretos de estados, que evoluciona a saltos cuando aparecen nuevos clientes en el sistema o cuando desaparecen de él. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 7 / 43 4

5 Proceso Estocástico Proceso Estocástico: Se define como un conjunto de variables aleatorias {X(t)} t T con t tomando valores en un conjunto dado. T, con frecuencia, es el conjunto de enteros no negativos N. X representa una característica de interés medida usualmente en el instante de tiempo t. Ejemplo: El proceso estocástico X(1),X(2),X(3),... puede representar los valores al cierre de cotización de una acción, el día 1 de cotización, 2,3,... Saldo de una cuenta. Demanda de un producto. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 8 / 43 Proceso Estocástico {X((t),t T } es un Proceso Estocástico, P.E., si X(t) es una Variable Aleatoria, V.A., para cada t T, siendo T usualmente el tiempo. Los procesos estocásticos, como conjunto de v.a. pueden ser: Continuos. Discretos. X(t) = x, significará que el P. E. X toma el valor x en el instante t de tiempo. Esto es equivalente a decir que el P.E. se encuentra en el estado x en el instante t. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 9 / 43 5

6 Proceso de Conteo Recibe el nombre de Proceso de Conteo o Proceso de Llegadas, todo P. E. N(t) en tiempo continuo, t 0, donde N(t) es el número de llegadas a un sistema, u ocurrencias de un suceso, durante el intervalo de tiempo [0,t]. Matemáticamente: Decimos que un P.E. {N(t),t 0} es un proceso de conteo, si y sólo si: 1. N(0) = 0 casi seguro, c.s. 2. N(t) sólo toma valores enteros y no negativos, c.s. 3. Si s < t entonces N(s) N(t). 4. N(t) N(s) son el número de ocurrencias en el intervalo de tiempo (s,t]. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 10 / 43 6

7 Proceso de Poisson El Proceso de Poisson es un proceso de conteo que se utiliza en la modelización de fenómenos de espera. Un proceso de Poisson verificará: El valor de N, V. A., en [t 0,t 0 + t], es independiente de la historia anterior a t 0. La probabilidad de n llegadas en un intervalo, sólo depende de su longitud. La probabilidad de que tenga lugar un sólo suceso en un intervalo de tiempo de amplitud t o dt es proporcional a esa longitud. La probabilidad de dos o más sucesos es despreciable frente a t. El número de sucesos que ocurren en intervalos disjuntos, V. A., son independientes. Matemáticamente: Siendo P n (t) = P(N(t) = n). Dado un Proceso de Conteo, {N(t),t 0} se dice que es un Proceso de Poisson de parámetro o intensidad λ > 0 si verifica las siguientes propiedades: El proceso tiene incrementos independientes: Si se tiene instantes 0 t 0 < t 1 < t n entonces N(t 1 ) N(t 0 ), N(t 2 ) N(t 1 ),..., N(t n ) N(t n 1 ) son independientes. P(N(t) = 1) = λt + o(t). P(N(t) 2) = o(t). En un Proceso de Poisson de parámetro λ: P(N(t) = 0) = 1 λt + o(t) P(N(t) = 1) = λt + o(t) P(N(t) 2) = o(t) El parámetro λ del Proceso de Poisson se interpreta como número de ocurrencias del fenómeno por unidad de tiempo, INTENSIDAD: E(N(t + h) N(t)) lim = λ h 0 + h Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 11 / 43 7

8 Teorema 1: Sea {N(t),t > 0} un Proceso de Poisson de parámetro λ, entonces la variable aleatoria N(t) sigue una distribución de Poisson de parámetro λt: P(N(t) = n) = (λt)n e λt n! Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 12 / 43 Teorema 2: Sea {N(t),t > 0} un Proceso de Poisson de parámetro λ, y sean 0 t 0 < t 1 < < t n los tiempos de ocurrencia de los sucesos. Definamos: τ i = t i t i 1 Entonces las variables aleatorias continuas τ i, serán V. A. mutuamente independientes e identicamente distribuidas siguiendo una distribución exponencial de parámetro λ. Recíprocamente: f(τ) = λe λτ Si {N(t),t > 0}, es un Proceso de Conteo, y los tiempos entre ocurrencias del suceso, τ i son V. A. independientes e idénticamente distribuidas mediante la distribución exponencial de parámetro λ, entonces {N(t),t > 0} es un Proceso de Poisson de parámetro λ. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 13 / 43 8

9 Propiedades de la Distribución Exponencial Sea T una V. A. C. que representa el tiempo entre ocurrencias consecutivas, que sigue una distribución exponencial de parámetro λ. Entonces su función de densidad será: f(τ) es estrictamente decreciente. La distribución no tiene memoria. f(τ) = λe λτ P(T > t + t T > t) = P(T > t) Sea {X(t),t T } un proceso de Poisson, parámetro λ. P(X(t) = n) = (λt)n e λt n! Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 14 / 43 9

10 Modelos de Nacimiento y Muerte 15 / 43 Procesos de Nacimiento y Muerte El proceso de Poisson es útil para modelizar situaciones en las que se producen determinadas ocurrencias de un suceso. En otros procesos más generales, se contemplan no sólo llegadas sino también la partida de clientes. Los procesos de Nacimiento y Muerte, son un caso general, y permiten que las tasas tanto de nacimientos como de muertes varíen según el número de individuos de la población. Definición: Sea un P.E. {N(t),t 0} y un conjunto de estados E 0,E 1,E 2,... Diremos que N(t) en el instante t se encuentra en el estado i ésimo, E i, si N(t) = i. Propiedades: Existen λ i, i = 1,2,... y µ i, i = 1,2,... llamadas tasas de nacimiento y muerte respectivamente. Las probabilidades de transición de un estado a otro en un intervalo de tiempo (t,t + h) de amplitud h: P(E i E i 1 ) = µ i h + o(h) P(E i E i+1 ) = λ i h + o(h) La probabilidad de que ocurra más de un cambio de estado en un intervalo de tiempo de amplitud h es del orden de o(h). Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 16 / 43 10

11 Distribución de Probabildad El proceso de Poisson es un caso particular en el que λ i = λ y µ i = 0. Vamos a intentar expresar la probabilidad de encontrarnos en instante de tiempo t + h en el estado i basándonos en las probabilidades de estar en el instante t en los diferentes posibles estados: i,i + 1,i 1. Denotaremos, P i (t) = P(N(t) = i) Prob. que en el instante t estemos en E i P i (t + h) =P i 1 (t) P(E i 1 E i )+ P i (t + h) P i (t) h P i+1 (t) P(E i+1 E i )+ P i (t) P(E i E i ) =P i 1 (t) λ i 1 + P i+1 (t) µ i+1 P i (t) (λ i + µ i ) + o(h) h P i (t + h) P i (t) lim = dp i(t) = P h 0 h dt i(t) = P i 1 (t) λ i 1 + P i+1 (t) µ i+1 P i (t) (λ i + µ i ) Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 17 / 43 Ecuaciones de Balance Llamaremos entonces al siguiente sistema de ecuaciones, el sistema de ecuaciones de balance: { P i (I) (t) = P i 1(t) λ i 1 + P i+1 (t) µ i+1 P i (t) (λ i + µ i ) P 0 (t) = P 1(t) µ 1 P 0 (t) λ 0 Con las siguientes condiciones iniciales: { P 0 (0) = 1 P i (0) = 0 i > 0 Este sistema da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 18 / 43 11

12 Proceso de Poisson Para el caso particular de un proceso de Poisson: { µ i = 0 i λ = λ i i En este caso, el sistema de balance se corresponde con: { P i (t) = P i 1(t)λ λp i (t) P 0 (t) = λp 0(t) Y su solución se puede comprobar que corresponde con: P i (t) = e λt (λt) i i! Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 19 / 43 Proceso Estacionario Un proceso estocástico es estacionario cuando las funciones P n (t) = P(N(t) = n) son constantes P n, es decir, no depende de t. Si el proceso es estacionario, el sistema de ecuaciones de balance se transforma en un sistema de ecuaciones lineales: 0 = P 1 µ 1 P 0 λ 0 i=0 0 = P 0 λ 0 + P 2 µ 2 P 1 (λ 1 + µ 1 ) i=1 Siendo,... 0 = P n 2 λ n 2 + P n µ n P n 1 (λ n 1 + µ n 1 ) i=n-1 λ P 1 = P 0 0 µ 1 λ P 2 = P 0 λ 1 0 µ 1 µ 2... λ P n = P 0 λ 1...λ n 1 0 µ 1 µ 2...µ n c n = λ 0 λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 20 / 43 12

13 Estado Estacionario Sabemos que P n son probabilidades, luego: 1 = P n = P 0 + c n P 0 = P 0 (1 + c n ) n=0 P 0 = c n La condición c n < es necesaria y suficiente para que exista el estado estacionario. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 21 / 43 Sistema de Colas 22 / 43 Descripción del Sistema Todo fenómeno de colas se divide en cuatro secciones claramente diferenciadas: Ingreso de clientes desde una fuente (finita o infinita). Linea de espera o cola, puede constar de uno o más canales. Centro de servicio donde los clientes reciben el servicio por parte de uno o más servidores. Salida de los clientes, hacia la fuente original o hacia otro servicio. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 23 / 43 13

14 Hipótesis Consideradas Sobre el tamaño de la población. Sobre las llegadas: y siendo t 0 < t 1 <... los tiempos de llegadas de clientes consecutivos, y definido τ k = t k t k 1, τ k =cte. es el caso determinista. τ k =aleatorio, Proceso de Poisson de parámetro λ. Capacidad de la cola: finita o infinita. Disciplina de la cola: FIFO, LIFO, RSS, RR, etc. Mecanismo de Servicio: Determinista (mismo tiempo para cada cliente) o Aleatorio (exponencial). Número de servidores: 1, s o servidores en función de la demanda. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 24 / 43 14

15 Notación Basándonos en los Procesos de Nacimiento y Muerte: N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t de tiempo. N q (t): Número de clientes en la cola en el instante t de tiempo. P n (t): Probabilidad de que en el instante t de tiempo se encuentren n clientes en el sistema. s: Número de servidores operativos que forman parte del centro de servicio. λ n : Número medio de clientes que han llegado al sistema por unidad de tiempo cuando en el sistema se encuentran n clientes. Tasa de llegadas, si ésta no depende del número de clientes en el sistema entonces es constante y se denota por λ. µ n : Número medio de clientes que han sido servidos en el centro de servicio por unidad de tiempo cuando en el sistema se encuentran n clientes. Tasa de servicio, si ésta no depende del número de clientes en el sistema representaremos por µ el número medio de clientes que son servidos por cada servidor y por unidad de tiempo. µ n = nµ si n = 1,2,...,s 1 y µ n = sµ si n s. ρ: Intensidad de Tráfico, ρ = λ sµ. N: Variable Aleatoria Discreta que representa el número de clientes en el sistema. N q : Variable Aleatoria Discreta que representa el número de clientes en la cola. P n : Probabilidad de que se encuentren n clientes en el sistema. L: Número medio de clientes en el sistema, L = E(N). L q : Número medio de clientes en la cola, L q = E(N q ). W: Variable Aleatoria Continua que representa el tiempo que pasa un cliente en el sistema. W q : Variable Aleatoria Continua que representa el tiempo que pasa un cliente en la cola. W: Tiempo medio que pasa un cliente en el sistema, W = E(W). W q : Tiempo medio que pasa un cliente en la cola, W q = E(W q ). Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 25 / 43 15

16 Notación de Kendall A/B/s A indica la distribución del tiempo entre las llegadas consecutivas. B indica la distribución del tiempo de servicio. s indica el número de servidores. M: Exponencial, Markov. D: Determinista. G: Genérica, normal. E k : Erlang. U: Uniforme. A/B/s/K/H/Z K capacidad de la cola. H tamaño de la población. Z disciplina de la cola. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 26 / 43 Fórmula de Little Para los modelos M/M/s, se verifica la siguiente relación conocida como formula de Little: L = λ W L q = λ W q Otra relación importante es: W = W q + 1 µ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 27 / 43 16

17 Modelo M/M/1 28 / 43 M/M/1 Tiempos entre llegadas consecutivas, distribución exponencial λ. Tiempos de servicio, distribución exponencial µ. 1 servidor. Capacidad de la cola infinita. Población infinita, sin restricciones. Disciplina de la cola, FIFO. { λ i = λ i µ i = µ i Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 29 / 43 17

18 Estado Estacionario Tal y como hemos visto en los procesos de Nacimiento y Muerte: P n = λ 0...λ n 1 P 0 = c n P 0 n = 1,2,... µ 1...µ n c n = λ ( ) 0...λ n 1 = λn λ n µ 1... µ n µ n = = ρ n n = 1,2,... µ 1 = P 0 + P 1 + P = P 0 + c 1 P 0 + c 2 P = P 0 + ρ P 0 + ρ 2 P = P 0 (1 + ρ n ) 1 P 0 = 1 + ρn La condición de proceso estacionario equivale a la convergencia de la serie geométrica: c n = Esta serie será convergente si y sólo si ρ < 1, al ser ρ > 0 esta condición equivale a: ρ < 1 λ < µ Entonces y bajo la condición de proceso estacionario, tendremos: ρ n P 0 = = 1 ρn 1 + ρ 1 ρ = 1 ρ Siendo entonces para n = 1,2,... : P n = c n P 0 = ρ n P 0 = ρ n (1 ρ) Obteniéndose entonces, una expresión general que nos determina la probabilidad de encontrar n personas en el sistema: P n = ρ n (1 ρ) n Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 30 / 43 18

19 L Número medio de clientes en el sistema, esperanza: L = n P n = n=0 (1 ρ)ρ n ρ n (1 ρ) = (1 ρ) n ρ n n ρ n 1 = (1 ρ)ρ (1 ρ) 2 = ρ 1 ρ = λ µ λ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 31 / 43 L q Número medio de clientes en la cola, esperanza: L q = Sabemos que si s = 1, entonces, P qn = P n+1. L q = n P n+1 = n=0 n P qn n=0 (m 1) P m = m=1 m P m m=1 m=1 = L (1 P 0 ) = ρ ρ2 (1 (1 ρ)) = 1 ρ 1 ρ = λ 2 µ(µ λ) P m Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 32 / 43 19

20 Fórmulas de Little L = λ W W = L λ = 1 µ λ Además podemos comprobar que se verifica: L q = λ W q W q = L q λ = λ µ(µ λ) W = W q + 1 µ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 33 / 43 Espera de los clientes Además si deseamos tener más información sobre la espera de los clientes en el sistema, deberemos calcular la distribución de probabilidad de la V.A. W, tiempo pasado por un cliente en el sistema. P(W < t) = W exp(µ λ) f(t) = (µ λ)e (µ λ)t E[W] = W = 1 µ λ t 0 (µ λ)e (µ λ)x dx = 1 e (µ λ)t Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 34 / 43 20

21 Costes Coste de Servicio Total= s C s. Coste de Espera en Sistema= λ W C W. Coste de Espera en Cola= λ W q C W. Coste Total= s C s + λ W C W. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 35 / 43 Modelo M/M/s 36 / 43 M/M/s Tiempos entre llegadas, exponencial λ. Tiempos de servicio, exponencial µ. s servidores. Capacidad de la cola infinita. Población infinita. Disciplina FIFO. λ i = λ i µ i = { i µ i = 1,2,...,s 1 s µ i = s,s + 1,... ρ = λ sµ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 37 / 43 21

22 Estado Estacionario c n = λ 0 λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n = { λ n n!µ n n = 1,2,...,s 1 λ n s!s n s µ n n = s,s + 1,... Para determinar el estado estacionario del sistema, basta con analizar la convergencia: c n = = s 1 s 1 λ n n!µ n + λ n n!µ n + λs s!µ s n=s λ n s 1 s!s n s µ n = s ρ = λ n n!µ n + λ n n!µ n + λs s!µ s n=s ρ n s λ s (s 1)!µ s 1 (sµ λ) Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 38 / 43 P n Entonces: Con lo que, P 0 = c n = s 1 λn n!µ + n. λ s (s 1)!µ s 1 (sµ λ) P n = c n P 0 = Problemas en el cálculo de (s 1)!. { λ n n!µ P n 0 n = 1,2,...,s 1 λ s s!µ ρ n s P s 0 n = s,s + 1,... Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 39 / 43 22

23 Cálculo Recursivo Definimos: P n = c n P 0 = entonces tendremos de forma recursiva que, c n = c n 1 { λ n n!µ P n 0 n = 1,2,...,s 1 λ s s!µ ρ n s P s 0 n = s,s + 1,... c 0 = λ0 0!µ 0 = 1, λ nµ n = 1,...,s 1, y c λ n = c n 1 sµ n = s,... y por lo tanto, c n = c s 1 n=s λ sµ λ y P 0 = 1 s 1 0 c n + n=s c. n Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 40 / 43 L q Número medio de clientes en la cola, esperanza: L q = E(N q ) = 0(P 0 + P P s ) + = (n s) P n = n=s = λs s!µ s P 0 n=s n=s n=s+1 (n s) P n λ s (n s) s!µ s ρn s P 0 (n s) ρ n s = λs s!µ s P 0 k ρ k k=0 = λs s!µ s P ρ 0 (1 ρ) 2 = λ s+1 P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) 2. Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 41 / 43 23

24 Fórmulas de Little W q = L q λ W q = λ s P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) 2 W = W q + 1 µ W = λ s P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) µ L = λ W λ s+1 P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) 2 + λ µ Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 42 / 43 Espera de los Clientes Probabilidad de que un cliente esté en la cola o en el sistema: λ 1 s P 0 (s 1)!µ s 1 (sµ λ) e (sµ λ)t si t 0 P(W q t) = 0 si t < 0 λ 1 (1 + s P 0 t (s 1)!µ s 2 (sµ λ) )e µt si t 0 P(W t) = 0 si t < 0 Probabilidad de que un cliente no tenga que esperar: s 1 P(W q = 0) = P(W q 0) = P(N s 1) = n=0 P n Licesio J. Rodríguez-Aragón Métodos Cuantitativos Org. Ind. 43 / 43 24

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