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1 Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará el núcleo de una transformación lineal, así como su nulidad su rango. Distinguirá cuándo una transformación lineal es inectiva, supraectiva, biectiva, utilizará las propiedades de los isomorfos. Realizará operaciones entre transformaciones lineales encontrará la transformación lineal inversa.

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3 Álgebralineal Introducción En varias ramas de las matemáticas de las ciencias sociales, es común representar fenómenos mediante modelos que emplean funciones de variable vectorial. Es decir, funciones entre espacios vectoriales. Estas funciones tienen el nombre de transformaciones son el primer paso para estudiar transformaciones con propiedades especiales llamadas transformaciones lineales Definición de transformación. Dominio e imagen Comenzaremos la unidad recordando lo que es una función. Una función es una regla que asocia cada uno de los elementos de un conjunto A, llamado dominio, con uno de otro conjunto B, llamado codominio. Es decir, si f: A B es una función, significa que si a es un elemento de A entonces f(a) es el elemento de B asociado a a mediante la regla f. Es importante mencionar que f(a) es único para cada a en A. Definición 7.1. Sean V W dos espacios vectoriales. Sea T: V W una función que asigna a cada vector v de V un vector único w en W. T se llama transformación los conjuntos V W son respectivamente el dominio el codominio de la transformación. Vamos a dar varios ejemplos de transformaciones entre espacios vectoriales conocidos. Ejemplo 1 a) Consideremos la relación refleión que manda a cada vector (, ) al vector (, ) que es su refleión con respecto al eje. Sea T: R 2 R 2, tal que T(,) (, ). Probaremos que es una transformación; es decir, probaremos que T(, ) es único. Consideremos el vector u (u 1, u 2 ) en R 2 supongamos que T(u) (a, b) T(u) (c, d) son dos vectores en W, entonces, por la definición de la relación tenemos que 237

4 Unidad 7 (a, b) T(u) T(u 1, u 2 ) (u 1, u 2 ) (c, d) T(u) T(u 1, u 2 ) (u 1, u 2 ) de donde (a, b) (c, d) T(u) por lo que T(u) es único T es una transformación. b) Sea la función T: R 2 R 3 definida por T +. 3 Como R 2 R 3 son espacios vectoriales, T es una transformación donde R 2 es el dominio R 3 es el codominio. Definición 7.2. Sea T: V W una transformación. Sea v en V, entonces T(v) en W se llama la imagen de v bajo la transformación T, el conjunto {w en W tal que w T(v) para alguna v en V} se llama imagen de la transformación T. Veamos ejemplos de la imagen de algunas transformaciones. Ejemplo 2 a) Considera la transformación T: R 3 R 2 dada por T(,, z) (, ). La imagen del vector (2, 3, 5) es T(2, 3, 5) (2, 3) la imagen de la transformación es el conjunto de todas los vectores (, ) de R 2, tal que eista un vector (a, b, c) en R 3 tal que T(a, b, c) (, ), es decir, T(a, b, c) (a, b) (, ) de donde a, b, por lo tanto el rango es todo el plano cartesiano R 2. b) Considera la transformación T: R R tal que T() 0. Entonces la imagen de toda la transformación es T(R) {0}. Esto es, la imagen de T es el vector cero. c) Sea T: R 3 R 2 tal que T(,, z) (, 3). La imagen de T es el conjunto de vectores de R 2 de la forma (a, 3a). La imagen del vector (1, 2, 4) es T(1, 2, 4) ( 2, 6). 238

5 Álgebralineal Ejercicio 1 1. Di si las siguientes funciones son transformaciones: a) T: R {1, 2, 3} b) T: R 2 R 3 tal que T(, ) (,, 0) 2. Encuentra el dominio la imagen de las siguientes transformaciones: a) T: R 2 R 2 tal que T(, ) (, ) b) T: R 3 R tal que T(,, z) 2 c) T: M m n M n m tal que T(A) A T 3. Considera la transformación T: R 2 R 3 tal que T(, ) (,, + ) Encuentra la imagen de los siguientes vectores: a) (2, 3) b) ( 3, 0) c) (6, 2) d) ( 2, 6) 7.2. Definición de transformación lineal. Propiedades En esta sección nos ocuparemos de una clase de transformaciones que son mu útiles, pues preservan la suma el producto por escalar, que son la base de los espacios vectoriales. Estudiaremos sus propiedades que nos darán la pauta para manejar las transformaciones tanto en su representación de funciones como en su representación por medio de matrices. Definición 7.3. Sean V W espacios vectoriales T: V W una transformación. T se llama transformación lineal si satisface las siguientes propiedades: i) T(u + v) T(u) + T(v), u, v V ii) T(cu) ct(u), u V, c R 239

6 Unidad 7 Esta definición nos dice que las transformaciones lineales conservan la suma el producto por un escalar, es decir, que se obtiene el mismo resultado si las operaciones de suma multiplicación por un escalar se efectúan antes o después de que se aplique la transformación lineal. Debe observarse que las operaciones pueden ser diferentes a como se indica en el siguiente diagrama Suma en V Suma en W T(u + v) T(u) + T(v) Multiplicación por escalar en V Multiplicación por escalar en W T(cu) ct(u) Ejemplo 3 a) Considera la transformación T: R 2 R 2 tal que T(u, v) (u v, u + 2v); probaremos que es una transformación lineal. i) Sean u (u 1, u 2 ) v (v 1, v 2 ) en R 2, probaremos que T(u + v) T(u) + T(v). Recordemos que en R 2 u + v (u 1, u 2 ) + (v 1, v 2 ) (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) Por la definición de la transformación tenemos que T(u ) T(u 1, u 2 ) (u 1 u 2, u 1 + 2u 2 ); T(v) T(v 1, v 2 ) (v 1 v 2, v 1 + 2v 2 ) T(u + v) T(u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) [(u 1 + v 1 ) (u 2 + v 2 ), (u 1 + v 1 ) + 2(u 2 + v 2 )] [u 1 + v 1 u 2 v 2, u 1 + v 1 + 2u 2 + 2v 2 ] Consideremos ahora la suma T(u) + T(v) en R 2 T(u) + T(v) (u 1 u 2, u 1 + 2u 2 ) + (v 1 v 2, v 1 + 2v 2 ) usando la definición de suma en R 2 tenemos [(u 1 u 2 ) + (v 1 v 2 ), (u 1 + 2u 2 ) + (v 1 + 2v 2 )], eliminando paréntesis: 240

7 Álgebralineal [u 1 u 2 + v 1 v 2, u 1 + 2u 2 + v 1 + 2v 2 ], usando la propiedad conmutativa en R: [u 1 + v 1 u 2 v 2, u 1 + v 1 + 2u 2 + 2v 2 ] T(u + v) De donde T(u + v) T(u) + T(v) ii) Sea c un escalar, entonces probaremos que T(cu) ct(u) Por la definición de la transformación lineal tenemos que T(cu) T(cu 1, cu 2 ) (cu 1 cu 2, cu 1 + 2cu 2 ) por otro lado, al multiplicar por un escalar c la imagen de la transformación tenemos que ct(u) c(u 1 u 2, u 1 + 2u 2 ) [c(u 1 u 2 ), c(u 1 + 2u 2 )] por la propiedad de transitividad en R: (cu 1 cu 2, cu 1 + 2cu 2 ) T(cu) Por lo tanto T(cu) ct(u) De i) ii) tenemos que T es una transformación lineal. b) Sea A una matriz de 2 2, considera la transformación T: R 2 R 2 tal que T(u) Au Vamos a probar que T es una transformación lineal. i) Probaremos que T(u + v) T(u) + T(v) Por la definición de la transformación T(u + v) A(u + v) Usando la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices, tenemos que A(u + v) Au + Av T(u) + T(v) por la definición de la transformación. De donde T(u + v) T(u) + T(v) ii) Comprobaremos que T(cu) c T(u) Por la definición de la transformación tenemos que T(cu) A(cu) 241

8 Unidad 7 Usando la propiedad de la multiplicación de matrices c(ab) (ca)b A(cB) tenemos que A(cu) c(au) ct(u) por lo tanto, T(cu) ct(u) De i) ii) podemos asegurar que T es una transformación lineal. Es importante mencionar que no todas las transformaciones son lineales. Veamos un ejemplo de esto. c) Consideremos la transformación T: R R tal que T() + 1 Sea T( + ) + + 1, sin embargo, T() + T( ) ( + 1) + ( + 1) Por lo tanto T no es una transformación lineal. Las transformaciones lineales son importantes dentro del álgebra porque poseen propiedades especiales como las que se mencionan en el siguiente teorema. Teorema 7.1. Sea T: V W una transformación lineal, sean u, v dos vectores en V, entonces T tiene las siguientes propiedades: i) T(0v) 0w ii) T( u) T(u) iii) T(u v) T(u) T(v) iv) Si v c 1 v 1 + c 2 v c n v n, entonces T(v) T(c 1 v 1 + c 2 v c n v n ) c 1 T(v 1 ) + c 2 T(v 2 ) c n T(v n ) Es importante mencionar que en la propiedad i) el primer cero corresponde al espacio vectorial V mientras que el segundo corresponde al cero del espacio vectorial W. Vamos a dar un ejemplo para verificar que se satisface este teorema. 242

9 Álgebralineal Ejemplo 4 Consideremos la transformación T: R 2 R 3 definida por T + 3 Probaremos que T es una transformación lineal después que satisface las propiedades mencionadas en el teorema 7.1. u1 v1 u 1) Sean u v en R u2 v 2, entonces u + v 2 u T( u + v) T u + v u + v v + v ( u1 + v1) + ( u2 + v2) ( u1 + u2) + ( v1 + v2) ( u1 + v1) ( u2 + v2) ( u1 u2) + ( v1 v2) 3( u2 + v2) 3u2 + 3v 2 T(u) T u u1 + u2 1 u1 u2 u T(v) T v v1 + v2 1 v1 v2 2 3u v 2 2 3v 2 u1 u2 u1 v1 T(u) + T(v) T + T + v1 + v2 ( u1 + u2) + ( v1 + v2) u1 u2 u2 v + v1 v2 ( u1 u2) + ( v1 v2) 2 3u 2 3v 2 3u2 + 3v 2 De donde T(u + v) T(u) + T(v) 2) Sea c un escalar, T(cu) T cu cu 1 cu1 + cu2 cu1 cu2 3cu 2 2 ct(u) c T u u 1 u1 + u2 cu1 + cu2 c u1 u2 cu1 cu2 T(cu) 3u 2 3cu 2 2 por 1) 2) T es una transformación lineal. Probemos ahora las propiedades del teorema 7.1. i) Sea 0 en R 2, entonces T(0) T en R 3 30 ( ) 0 243

10 Unidad 7 ii) T( u) T u1 + ( u2) u1 u2 u1 u1 ( u2) u u 1 + u2 2 3( u 2) 3u 2 T(u) T u u1 + u2 u1 u2 1 u1 u2 u1 u2 u + de donde T( u) T(u) 2 3u 2 3u 2 iii) T(u v) T[u + ( v)] T(u) + T( v) T(u) + [ T(v)] T(u) T(v) iv) Sea v c 1 v 1 + c 2 v c n v n, una combinación lineal de vectores de R 2, entonces por ser T una transformación lineal tenemos que T(v) T(c 1 v 1 + c 2 v c n v n ) c 1 T(v 1 ) + c 2 T(v 2 ) c n T(v n ) Esta propiedad siempre se va a satisfacer por el simple hecho de ser una transformación lineal si tomamos en cuenta la propiedad asociativa de los reales. La propiedad iv) es una propiedad mu importante a que establece que una transformación lineal T: V W está determinada por sus efectos sobre los elementos de una base de V; a que si {v 1, v 2,..., v n } es una base de V de modo que T(v 1 ), T(v 2 ),..., T(v n ) estén definidos, entonces T(v) está definida para cualquier v en V. Ejemplo 5 Sea B {i (1, 0, 0), j (0, 1, 0), k (0, 0, 1)} la base canónica de R 3 sea T: R 3 R 3 una transformación lineal tal que T(1, 0, 0) (2, 1, 4) ; T(0, 1, 0) (1, 5, 2) T(0, 0, 1) (0, 3, 1) Encontrar la imagen T(2, 3, 2). Como (2, 3, 2) 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) 2(0, 0, 1), entonces, por la propiedad iv) del teorema 7.2 tenemos que T(2, 3, 2) 2 T(1, 0, 0) + 3 T(0, 1, 0) 2 T(0, 0, 1 ) 2(2, 1, 4) + 3(1, 5, 2) 2(0, 3, 1) (7, 7, 0) 244

11 Álgebralineal Lo anterior nos lleva a preguntarnos: Si dos transformaciones lineales mandan a los elementos de una base a imágenes iguales, serán la misma transformación? El siguiente teorema nos da la respuesta. Teorema 7.2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, B {v 1, v 2,..., v n } una base de V. Sean T 1 : V W T 2 : V W dos transformaciones lineales tales que para i 1, 2,..., n se tiene que T 1 (v i ) T 2 (v i ), entonces T 1 T 2. Este teorema nos dice que si T: V W V es de dimensión finita, entonces sólo es necesario conocer el efecto de T sobre los vectores de la base de V para determinar de manera única la imagen de cualquier vector de V. Sin embargo, surge otra pregunta, si {w 1, w 2,..., w n } son n vectores de W, eistirá alguna transformación lineal T de tal manera que T(v i ) w i para i 1, 2,..., n? La respuesta nos la muestra el siguiente teorema. Teorema 7.3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B {v 1, v 2,..., v n }. Sea W un espacio vectorial {w 1, w 2,..., w n } un conjunto de vectores en W. Entonces eiste una transformación lineal única T: V W tal que T( v i ) w i para i 1, 2,..., n. Ejemplo 6 Sea W tales que 2 + 3z 0 un subespacio vectorial de R 3. Sean w 1 (1, 2, 0) w 2 (0, 3, 1) vectores de W. Vamos a encontrar una transformación lineal T: R 2 W de tal modo que las imágenes de la base canónica de R 2 sean específicamente w 1 w 2. Definimos T(1, 0) (1, 2, 0) T(0, 1) (0, 3, 1), entonces 245

12 Unidad 7 T(, ) T(1, 0) + T(0, 1) (1, 2, 0) + (0, 3, 1) (, 2, 0) + (0, 3, ) (, 2 + 3, ) lo cual determina completamente a T. Ejercicio 2 1. Determina si las siguientes transformaciones son transformaciones lineales: a) T: R 2 R 2 tal que T(, ) (, 1) b) T: R 3 R 3 tal que T(,, z) ( +,, z) c) T: M 2 2 R tal que T(A) det (A) d) T: R 2 R 2 tal que T(, ) (0, 0) e) T: R 2 R 2 tal que T(, ) (, ) 2. Considera la transformación lineal T: R 2 R 2 tal que T(1, 1) (1, 0) T(1, 1) (0, 1): Encuentra T(1, 0) T(0, 2). 3. Sea T: R 2 R 2 una transformación lineal tal que T(1, 0) (1, 0) T(0, 1) (0, 0) Determina T(, ) Definición de núcleo de una transformación lineal. Determinación de núcleos En esta sección nos ocuparemos de aquellos vectores cua imagen bajo una transformación lineal es el vector cero. Este conjunto llamado núcleo está íntimamente relacionado con la nulidad de una matriz además de que posee, junto con la imagen, propiedades mu importantes útiles en el manejo de las transformaciones lineales. Definición 7.4. Sea T: V W una transformación lineal. El conjunto de vectores de V cua imagen es el vector cero de W se llama núcleo de la transformación se denota nu T, es decir, nu T {v en V tales que T(v) 0}. 246

13 Álgebralineal Al núcleo de una transformación también se le llama kernel. Es importante mencionar que el núcleo de una transformación lineal nunca es un conjunto vacío, a que la propiedad i) del teorema 7.2 nos garantiza que al menos contiene al cero del espacio vectorial que actúa como dominio. Ejemplo 7. a) Consideremos la transformación lineal T: P 2 R tal que Ta ( 2 + b+ c) c Vamos a encontrar su núcleo. nu T {p en P 2 tales que T(p) 0} esto implica que si p a 2 + b + c, entonces T(p) T( a 2 + b + c) c 0 lo que nos lleva a concluir que los vectores de núcleo de T son aquellos polinomios de la forma p a 2 + b ; es decir, nu T {p en P 2 tales que p a 2 + b } b) Sea T: V V tal que T(v) 0, entonces nu T V. A esta transformación lineal se le llama la transformación cero. c) Sea T: R 3 R 2 tal que T(,, z) (, z); donde nu T { en R 3 tales que T(,, z) 0} En este caso T(,, z) 0 implica que T(,, z) (, z) (0, 0), entonces z 0 de donde nu T {(0,, 0) en R 3 } d) Sea T: V V tal que T(v) v. Esta transformación se llama transformación identidad. nu T {v en V tal que T(v) 0} esto nos lleva a que T(v) v 0, por tanto nu T {0} El siguiente resultado nos será de gran utilidad cuando se manejen las representaciones matriciales de una transformación lineal; nos proporcionará una equivalencia entre el núcleo de una transformación lineal los correspondientes núcleo nulidad de una matriz. 247

14 Unidad 7 Teorema 7.4. Sea T: V W una transformación lineal, entonces i) nu T es un subespacio vectorial de V. ii) Imagen T es un subespacio vectorial de W. Utilizando las propiedades de las transformaciones lineales, probaremos este teorema. i) Sean u, v vectores del núcleo de T, queremos que u + v esté en el núcleo de T. Como u, v están en nu T, entonces T(u) T(v) 0 T(u + v) T(u) + T(v) , por lo que u + v está en nu T. Sea c un escalar, veremos si cu está en el núcleo de T. T(cu) ct(u) c(0) 0, por tanto cu está en nu T De ambos resultados obtenemos que nu T es un subespacio vectorial de V. ii) Sean w vectores de la imagen de T, queremos que + w esté en la imagen de T. Como, w son vectores de la imagen, eisten u, v vectores de V, tales que T(u) T(v) w. Como T es una transformación lineal, T(u + v) T(u) + T(v) + w, entonces + w está en la imagen de T, pues eiste u+ v V con T(u + v) + w Sea c un escalar, probaremos que c está en la imagen de T. Como T es transformación lineal, T(cu) ct(u) c, de donde c está en la imagen de T, por los dos resultados imagen de T es un subespacio vectorial de W. Como el núcleo la imagen son subespacios vectoriales, podemos considerar su dimensión. Veamos la siguiente definición. Definición 7.5. Sea T: V W una transformación lineal, entonces a la dimensión del núcleo de T se le llama nulidad de T, a la dimensión de la imagen de T se le llama rango de T se denotan por 248

15 Álgebralineal ν(t) dim nu T nulidad ρ(t) dim imagen T rango Recordemos que para encontrar la dimensión de un espacio vectorial, basta encontrar una base de ese espacio, la dimensión del espacio es el número de vectores de la base. Vamos a encontrar el rango la nulidad de algunas transformaciones lineales conocidas. Ejemplo 8 1. a) Sea T: R 3 R 3 tal que T(,, z) (,, 0). nu T {(,, z) en R 3 tal que T(,, z) (,, 0) (0, 0, 0)} {(0, 0, z) en R 3 } el vector (0, 0, 1) es una base para nu T, por lo tanto la nulidad de T ν(t) imagen T {(,, 0) en R 3 } de donde {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} es una base para la imagen T de donde el rango de T ρ(t) 2. b) Sea T: R 2 R 2 tal que T(,) ( +, ) nu T {(, ) tal que T(, ) (0, 0)} {(, ) tal que ( +, ) (0, 0)} + 0 Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos que 0, 0, 0 por lo tanto nu T {(0, 0)} de donde ν(t) dim nu T 0 En este caso obtener una base para la imagen de T no resulta tan fácil, surge entonces la pregunta: no habrá alguna otra manera de obtener el rango de la transformación? El siguiente resultado nos brinda la respuesta. Teorema 7.5. Sea T: V W una transformación lineal donde V es un espacio vectorial de dimensión n. Entonces la suma de la nulidad el rango es igual a la dimensión del dominio. nulidad + rango ν(t) + ρ(t) dim V n En el ejemplo anterior observamos que ν(t) dim nu T 0 que la dimensión de R 2 es 2, por lo tanto usando este teorema tenemos que el rango Τ ρ(t)

16 250 Unidad 7 En cualquier caso, es más fácil encontrar la nulidad de una transformación lineal usar el teorema anterior para encontrar el rango de la misma. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 9 a) Sea T: R 4 R 2 tal que T z w z w + + una transformación lineal. Vamos a encontrar su núcleo o kernel. T z w z w eso implica que z w z w, por lo tanto nu T + w w w w w de donde{( 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} es una base para el núcleo, por tanto ν(t) dim nu T 2. Como dim R 4 4 νρ(t) + ρ(t) 2 + ρ(t) entonces el rango Τ ρ(t) 2. b) Sea T: R 2 R 3 tal que T + una transformación lineal. nu T T lo que implica que 0, por lo tanto nu T {(0, 0)}, entonces ν(t) dim nu T 0. Como dim R 2 2 ν(t) + ρ(t) 0 + ρ(t) entonces rango Τ ρ(t) 2.

17 Álgebralineal Esto nos lleva a que T {(1, 1, 0), (0, 1, 1)} es una base para la imagen de T. de donde Ejercicio 3 1. Encuentra el núcleo de las siguientes transformaciones lineales: a) T: R R 2 tal que T() (, 2) b) T: R 2 R 2 tal que T 2 + c) T: R 3 R 2 tal que T z z d) T: R P 3 tal que T(a) a + a + a 2 + a 3 2. Encuentra el rango la nulidad de las transformaciones del ejercicio anterior. 3. Encuentra una base para la imagen de las transformaciones de los incisos a), b) c) del ejercicio Transformaciones lineales inectivas, supraectivas biectivas. Isomorfismos En esta sección se estudiarán transformaciones lineales especiales como son las inectivas, supraectivas biectivas. Estos tipos de transformaciones son importantes porque dan origen a los isomorfismos entre espacios vectoriales, lo que nos permitirá definir clases de espacios vectoriales que tienen la misma dimensión. Definición 7.6. Sea T: V W una transformación lineal, se llama transformación inectiva si satisface que T(u) T(v) implica que u v. 251

18 Unidad 7 Esta definición nos dice que una transformación inectiva es aquella donde elementos del dominio distintos tienen imágenes distintas. Ejemplo 10 a) T: R 2 R 2 tal que T ; vamos a probar que es inectiva. 2+ T T , de donde al resolver el sistema de ecuaciones anterior obtenemos por lo tanto T es inectiva b) T: R 2 R 2 tal que T(, ) ( 2, ); vamos a probar que T no es inectiva. Para ello basta con ehibir dos elementos distintos que tengan la misma imagen. Considera los vectores (1, 3) ( 1, 3). Estos son dos vectores diferentes, sin embargo, sus imágenes T(1, 3) (1 2, 3) (1, 3) T( 1, 3) (( 1) 2, 3) (1, 3) son iguales. Esto nos lleva a decir que T no es inectiva. Definición 7.7. Sea T: V W una transformación lineal, entonces T se llama transformación supraectiva si la imagen o rango de T es W, es decir, que para toda w en W eiste una v en V, tal que w T(v). Ejemplo 11 a) Sea T: R 2 R 2 tal que T(, ) supraectiva., vamos a probar que es 2+ Sea (u, v) en R 2, queremos encontrar un vector (, ) en R 2 de tal modo que T(, ) (u, v); T(, ) u + 2 v de donde u 2+ v tenemos que u+ v 3, 2 u + v, entonces T(, ), 3 2+ al resolver el sistema 252

19 Álgebralineal pero u + v 2 u + v u + v + 2 u v 3 u u u+ v 2u+ v 2u+ 2v 2u+ v 3v donde T(, ) (u, v), por lo tanto, T es supraectiva. v b) Sea T: R 2 R 2 tal que T(, ), probaremos que T no es 2 2 supraectiva, para esto necesitamos encontrar un vector de R 2 que no sea imagen de ningún otro vector. Consideremos el vector (0, 1) supongamos que eiste un vector (, ) en R 2 tal que T(, ) (0, 1) eso quiere decir que 0 que de donde 0 ½, lo cual no puede ser, por lo tanto, no eisten (, ) tales que T(, ) (0, 1), de donde podemos asegurar que (0, 1) no está en la imagen de T, por lo tanto, T no es supraectiva. De las dos definiciones anteriores se desprende el siguiente resultado que nos habla de las dimensiones de los espacios vectoriales con respecto al tipo de transformación que se puede definir entre ellos. Teorema 7.6. Sea T: V W una transformación lineal, entonces a) Si T es inectiva dim V dim W b) Si T es supraectiva dim V dim W Este resultado nos dice que dependiendo de la dimensión de los espacios vectoriales, se pueden definir transformaciones inectivas o supraectivas. Ejemplo 12 a) Considera la transformación T: R 3 R 2 tal que T z z Observemos que la dimensión de R 3 es maor que la dimensión de R 2, por lo cual T no puede ser inectiva. 253

20 Unidad 7 En efecto, consideremos los vectores ( 1, 2, 0) (2, 4, 3) son elementos distintos, sin embargo, sus imágenes son iguales: 1 T lo tanto T no es inectiva T , por b) Tomemos la transformación T: R 2 R 3 tal que T como la dimensión de R 2 es menor que la dimensión de R 3, T no puede ser supraectiva. Consideremos el vector (0, 0, 1). Si eistiera un vector (, ) tal que T(, ) (0, 0, 1) tendríamos que T donde 0 al mismo tiempo , lo que sería una contradicción, por lo tanto, no eiste el vector (, ) T no es supraectiva. c) Consideremos la transformación lineal T: R R 2 definida como T() (, ). Como la dimensión de R es menor que la dimensión de R 2, vamos a probar que T es inectiva. Sean u, v elementos de R, tales que T(u) T(v), como T(u) (u, u) T(v) (v, v), entonces (u, u) (v, v), por lo tanto u v, de donde T es inectiva. d) Definamos T: R 2 R tal que T(, ) +. Como la dimensión de R 2 es maor que la de R. Probaremos que T es supraectiva. Consideremos un vector de R, definimos en R 2 el vector (/2, /2), entonces T() T (/2, /2) /2 + /2, por tanto, T es supraectiva. Retomando las definiciones de núcleo, rango dimensión de una transformación lineal, vamos a determinar cuándo una transformación lineal es inectiva o supraectiva. Consideremos el siguiente resultado: 254

21 Álgebralineal Teorema 7.7. Sea T: V W una transformación lineal, entonces i) T es inectiva, si sólo si, nu T {0} ii) T es supraectiva, si sólo si, el rango de T ρ(t) dim W. Al considerar las transformaciones lineales inectivas supraectivas de los ejemplos anteriores vamos a corroborar el resultado anterior. Ejemplo 13 a) Demostraremos que la transformación lineal inectiva T: R 2 R 2 tal que T, tiene como núcleo al vector cero: 2+ nu T {(, ) tal que T }, entonces , por tanto, nu T {(0, 0)} de donde b) Consideremos ahora la transformación supraectiva: T: R 3 R 2 tal que T z la dimensión de R 2. ; probaremos que su rango es z Como sabemos que es supraectiva, entonces imagen T R 2, por lo tanto, su rango que es la dimensión de su imagen es 2 dim R 2. Si tomamos en cuenta el resultado anterior podemos preguntarnos, cómo deberán ser los espacios vectoriales para que se pueda definir entre ellos una transformación que sea al mismo tiempo inectiva supraectiva?, cuáles serán sus propiedades? Para responder a estas preguntas necesitamos la siguiente definición. 255

22 Unidad 7 Definición 7.8. Sea T: V W una transformación lineal, entonces i) T se llama biectiva si es inectiva supraectiva. ii) T se llama isomorfismo si es biectiva; se dice que V W son isomorfos entre sí. Esta definición describe una manera de concebir diferentes espacios vectoriales como si fueran esencialmente iguales, por lo menos con respecto a las operaciones de suma vectorial multiplicación por un escalar. Ejemplo 14 a) Sea P 2 el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a a 2; definimos la transformación lineal T: R 3 P 2 tal que T b a+ b+ c 2. c Vamos a probar que es un isomorfismo usando el teorema 7.4. a i) nu T {(a, b, c) en R 3 tales que T b a+ b+ c 2 0} eso implica que c a b c 0, de donde nu T {(0, 0, 0)}, por lo tanto, es inectiva. ii) Como 3 dim R 3 ν(t) + ρ(t) 0 + ρ(t) ρ(t) dim P 2 3 ρ(t), entonces T es supraectiva. De acuerdo con la definición anterior con i) ii) podemos asegurar que T es un isomorfismo. Si recordamos el teorema 7.3, éste nos habla de las dimensiones de los espacios vectoriales relacionados con el tipo de transformaciones que se pueden definir entre ellos. Qué pasará con los isomorfismos? Veamos el siguiente resultado: 256

23 Álgebralineal Teorema 7.8. Sea T: V W un isomorfismo, entonces dim V dim W. Ejemplo 15 En el ejemplo 14 se definió un isomorfismo entre los espacios vectoriales R 3 el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 2. Esto nos lleva, según el teorema anterior, a que la dimensión de P 2 es 3 a que es la dimensión del espacio vectorial R 3. a) Consideremos el espacio vectorial M 2 2. Como su dimensión es 4, por lo tanto, es isomorfo al espacio vectorial R 4. Este resultado, junto con el siguiente teorema, nos indica la similitud entre los espacios vectoriales isomorfos, hasta el grado de poderlos considerar como si fueran el mismo, a que se comportan de la misma forma como vectores, aun cuando son entidades matemáticas distintas. Teorema 7.9. Sea T: V W un isomorfismo, si {v 1, v 2,..., v n } es una base de V, entonces {T(v 1 ), T(v 2 ),..., T(v n )} es una base de W. Ejemplo 16 Consideremos el isomorfismo T: R 2 R 2 tal que T. 2+ Sea {(1, 0), (0, 1)} una base para R 2, vamos a obtener las imágenes de cada uno de los vectores bajo T. T () 2 T , entonces vamos a probar ( ) 1 que {(1, 2), ( 1, 1)} es también una base para R 2. Tomemos una combinación lineal igual a cero, a(1, 2) + b( 1, 1) (0, 0), entonces 257

24 Unidad 7 a b 0 2a + b 0 de donde a b 0, por lo tanto, {(1, 2), ( 1, 1)} es linealmente independiente. Sea (, ) un vector de R 2, si definimos a + b 2,, entonces tenemos que a(, 1 2) + b( 11, ) + (, 1 2) ( 11, ), , (, ) 3 3 por lo tanto, genera a R 2 de donde {(1, 2), ( 1, 1)} es base para R 2. Ejercicio 4 1. Di si se puede definir una transformación lineal inectiva, supraectiva o isomorfismo entre cada una de las siguientes parejas de espacios vectoriales da la razón: a) De R a R 2 b) De R 3 a R c) De R a V {3 R} 2. Di si las siguientes transformaciones son inectivas, supraectivas o isomorfismos: a) T: P 2 R tal que T( a 2 + b + c) c b) T: R R 2 tal que T() (, 2) c) T: R 2 R 2 tal que T Prueba que la transformación lineal T: R 3 R 3 definida por + + z T 2z es un isomorfismo encuentra otra base para R 3 aplicando z 2 z la transformación a la base canónica. 258

25 Álgebralineal 7.5. El espacio vectorial de las transformaciones lineales. Composición de transformaciones lineales. Transformación lineal inversa En esta sección nos dedicaremos al manejo de las transformaciones lineales como elementos de un espacio vectorial con ello construiremos las transformaciones lineales inversas veremos cuáles son los requisitos para que una transformación lineal tenga inversa. Primero probaremos que el conjunto de todas las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales es, en sí mismo, un espacio vectorial. a) Sean T 1 :V W T 2 :V W dos transformaciones lineales, definamos la transformación [T 1 + T 2 ] :V W tal que si v es un vector de V, entonces [T 1 + T 2 ](v) T 1 (v) + T (v); vamos a probar que [T + T ] :V W es una transformación lineal. i) Sean u, v vectores de V, usando la definición de T 1 + T 2 tenemos que [T 1 + T 2 ] (u + v) T 1 (u + v) + T (u + v) 2 Como T 1 T 2 son transformaciones lineales: T 1 (u + v) + T 2 (u + v) [T 1 (u) + T 1 (v)] + [T 2 (u) + T 2 (v)] Por otro lado, tenemos que usando la definición de T 1 + T 2 en los vectores u v [T 1 + T 2 ](u) + [T 1 + T 2 ](v) [T 1 (u) + T 2 (u)] + [T 1 (v) + T 2 (v)] por lo tanto [T 1 + T 2 ] (u + v) [T 1 + T 2 ](u) + [T 1 + T 2 ](v) ii) Sea c un escalar, por la definición de T 1 + T 2 tenemos [T 1 + T 2 ](cv) T 1 (cv) + T 2 (cv) Como T 1 T 2 son transformaciones lineales T 1 (cv) + T 2 (cv) ct 1 (v) + ct 2 (v) 259

26 Unidad 7 Por otro lado, al usar la definición de T 1 + T 2 tenemos que c[t 1 + T 2 ](v) c[t 1 (v) + T 2 (v)] Usando la propiedad distributiva de W: c[t 1 (v) + T 2 (v)] ct 1 (v) + ct 2 (v) por lo tanto [T 1 + T 2 ](cv) c[t 1 + T 2 ](v) de i) ii) podemos decir que [T 1 + T 2 ] :V W es una transformación lineal. b) Sea c un escalar, definimos la transformación [ct]: V W tal que [ct](u) c[t(u)]. probaremos que [ct] es una transformación lineal. i) Sean u, v vectores de V, usando la definición de ct tenemos que [ct](u + v) c[t(u + v)] Como T es una transformación lineal: c[t(u + v)] c[t(u) + T(v)] usando la propiedad distributiva en W: c[t(u) + T(v)] ct(u) + ct(v) Por otro lado tenemos que: [ct](u) + [ct](v) c[t(u)] + c[t(v)], por la definición de ct, de donde [ct](u + v) [ct](u) + [ct](v) ii) Sea a un escalar, por la definición de ct tenemos: [ct](au) c[t(au)] Como T es una transformación lineal entonces: c[t(au)] c[at(u)] cat(u) 260

27 Álgebralineal Usando la propiedad conmutativa de R: cat(u) (ac)t(u) a[ct](u) de i) ii) concluimos que [ct]:v W es una transformación lineal. De a) b) podemos concluir que el conjunto de las transformaciones lineales de V en W es un espacio vectorial. Ahora definiremos una nueva operación entre transformaciones lineales que se llama composición de transformaciones que es también una transformación lineal. Definición 7.9. Sean T: V W S: W U dos transformaciones lineales, definimos la composición de T S como S T : V U donde S T (v) S[T(v)] Probaremos que S T es una transformación lineal. Sean u, v vectores de V, como T S son transformaciones lineales, entonces i) S T (u + v) S[T(u + v)] S[T(u) + T(v)] S[T(u)] + S[T(v)] S T (u) + S T (v). ii) S T (cv) S[T(cv)] S[cT(v)] cs[t(v)] c S T de i) ii) podemos asegurar que S T es una transformación lineal. (v) Ejemplo 17 Sean T: R 4 R 3 S: R 3 R 2 dos transformaciones lineales definidas por: + 2 T z z w z w + 2 S T. 2+ S, encontrar la transformación lineal z z S T : R 4 R 2 es tal que 261

28 Unidad S T S T 2( + 2) + ( z) S z z z z w z w w w+ z z 3( ) 4( 2 ) z w Vamos ahora a dar una definición que nos permita encontrar transformaciones lineales cua composición sea la transformación lineal identidad. Definición Sea T: V V una transformación lineal, entonces T se llama operador lineal. Ejemplo 18 a) La transformación lineal T: R 2 R 2 tal que T(, ) ( +, ) es un operador lineal. b) La transformación lineal I: V V tal que I(v) v se llama operador lineal identidad. Consideremos ahora los siguientes operadores lineales especiales. Definición Sea T: V V un operador lineal, entonces T se llama invertible o no singular si eiste otro operador lineal S: V V tal que S T sea el operador lineal identidad I, es decir, S T T S I. Al operador lineal S se le llama inversa de T se le denota T 1. Ejemplo 19 2 Sea T: R 3 R 3 un operador lineal definido por T + 2 sea z + 3z 262

29 Álgebralineal 263 S: R 3 R 3 otro operador lineal definido por S z z / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ), entonces S T S z z / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) z z z R I T S T z z / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) (/ ) / ( / / ) / ( / / ) z z z R I 3 Por lo que T es invertible S T 1. Surgen las preguntas: cualquier operador será invertible?; si no, qué condiciones tiene que cumplir una transformación lineal para ser invertible? Consideremos el siguiente teorema. Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n. Sea T: V V un operador lineal, entonces T es invertible, si sólo si, T es un isomorfismo. Ejemplo 20 Sea T: R 3 R 3 un operador lineal definido por T z z vamos a probar que no es un isomorfismo. Consideremos los siguientes vectores de R 3 u (1, 0, 0) v (0, 1, 0) T T esto indica que T no es inectiva, por lo tanto, no es un isomorfismo, lo que implica que no es invertible.

30 Unidad 7 En la siguiente unidad encontraremos un método para encontrar la inversa de una transformación lineal a través de su matriz asociada. Ejercicio Di si T: R 3 R 3 definido por T 2+ z es un isomorfismo. z Encuentra S o T si sabemos que T: R 2 R 2 S: R 2 R 2 son dos transformaciones lineales definidas por T 2 S Determina si T: R 2 R 2 definida por T es invertible. Ejercicios resueltos 1. Encuentra la imagen de la transformación T: R 2 R 3 tal que T(, ) (, 0, ) La imagen de T, T(R 2 ) {(a, b, c) en R 3 tales que eiste (, ) en R 2 de modo que T(, ) (a, b, c)} eso quiere decir que T(, ) (, 0, ) (a, b, c) donde a, b 0, c ; por lo tanto, T(R 2 ) {(a, 0, c) en R 3 } 2. Considera T: P 2 P 2 una transformación lineal. Si sabemos que T(1) ; T() 1 + ; T( 2 ) , encuentra T( ). Como {1,, 2 } forman una base para P 2, entonces la podemos escribir como ( 2 ) 6() + 2(1), por lo tanto, la imagen se obtiene usando las imágenes de los elementos de la base con respecto a T. T( ) 1T( 2 ) 6T() + 2T(1) 1( ) 6(1 + ) + 2 ()

31 Álgebralineal 3. Sea T: R 2 R 2 una transformación lineal. Si sabemos que T(1, 0) (2, 4) T(0, 1) (1, 0), encuentra una epresión para T(, ). Como (, ) (1, 0) + (0, 1), entonces T(, ) T(1, 0) + T(0, 1) (2, 4) + (1, 0) (2 +, 4) 4. Encuentra el núcleo de la transformación T: R 2 R tal que T(, ) +. nu T {(, ) en R 2 tal que T(, ) 0} {(, ) tal que T(, ) + 0}, esto implica que, por lo tanto, nu T {(, ) en R 2 } 5. Encuentra la nulidad el rango de la siguiente transformación lineal, así como una base para el núcleo para la imagen. T: R 2 R 3, T nu T {(, ) en R 2 tal que T , entonces 0 de donde 0 nu T {(0, 0, 0)}, esto nos lleva a que ν(t) 0. Como dim R 2 2 ν(τ) + ρ(τ) 0 + ρ(τ) ρ(τ), entonces ρ(t) 2. Como el rango de T es 2 vamos a buscar una base para su imagen. T es una base para la imagen de T. de donde {(1, 2, 0), (0, 3, 1)} 6. Prueba que la transformación T: R 2 R 2 tal que T(, ) (, ) es un isomorfismo. Vamos a probar que es inectiva. Sean (, ) (a, b) en R 2 tales que T(, ) T(a, b), entonces (, ) ( a, b) de donde a, b, por lo tanto, T es inectiva. Para ver que es supraectiva tomemos (, ) en R 2, queremos encontrar (a, b) en R 2 de tal modo que (, ) T(a, b). 265

32 Unidad 7 Definimos a, b, entonces T(a, b) T(, ) ( ( ), ( )) (, ), por lo tanto, T es supraectiva un isomorfismo. 7. Sean T: R 2 R 3 S: R 3 R 2 dos transformaciones lineales definidas por T(, ) (,, ) S(,, z) (, z). Encuentra las transformaciones lineales S o T T o S. [S o T](, ) S[T(, )] S(,, ) (, ) [T o S](,, z) T[S(,, z)] T(, z) (, z, z) 8. Considera la transformación lineal definida por T(, ) (2, 0). Es invertible? nu T {(, ) tal que T(, ) (2, 0) (0, 0)}, entonces 0 de donde nu T {(0, )}, por lo tanto, ν(t) 1 T no es inectiva. Eso nos dice que T no es invertible pues no es un isomorfismo. Ejercicios propuestos 1. Encuentra el dominio la imagen de la siguiente transformación: T: R 3 R 2 tal que T(,, z) (, ) 2. Di si la transformación T: R 2 R tal que T(, ) + es una transformación lineal. 3. Considera la transformación lineal T: R 3 R 2 las imágenes de la base canónica bajo T: T(1, 0, 0) (1, 0); T(0, 1, 0) (0, 1); T(0, 0, 1) (1, 0). Encuentra una epresión para T(,, z). 4. Prueba que T: R 2 R tal que T(, ) + es supraectiva. 5. Prueba que T: R 3 R 3 tal que T(,, z) ( +,, 2) es un isomorfismo. 266

33 Álgebralineal 6. Encuentra el núcleo de la transformación T: P 3 P 2 tal que T(a + b + c 2 + d 3 ) a + b + c 2 7. Encuentra el rango la nulidad de la transformación lineal T: R 4 R 3 + definida por T z w z + z w + 8. Considera las siguientes transformaciones lineales: T: R 3 R 3 tal que T(,, z) (,, z) S: R 3 R 3 tal que S(,, z) (0,, 0) Encuentra S o T T o S. 267

34 Unidad Autoevaluación 1. Si T: V W es una tranformación lineal, la imagen de T es un subconjunto de: a) V b) W c) R d) T(V) 2. Es una transformación inectiva: a) T: R {0} tal que T() 0 b) T: P 3 R tal que T(a + b + c 2 + d 3 ) a c) T: R R 2 tal que T() (, 3) d) T: R 2 R tal que T(, ) 2 3. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Una transformación lineal T: R 2 R no puede ser un isomorfismo. b) Si T: V W es inectiva, dim V > dim W. c) Si T: V W es un isomorfismo, dim V dim W. 4. Un isomorfismo es una transformación lineal: a) Inectiva. b) Supraectiva. c) Lineal. d) Inectiva supraectiva. 5. Una transformación lineal T: V W es inectiva si: a) nu T {0} b) nu T dim V c) Imagen T W d) dim V 0 6. El núcleo de una transformación T: V W se define como: a) nu T {v en V tales T(v) 1} b) nu T {v en V tales T(v) 0} c) nu T {v en W tales T(v) 0} d) nu T {v en V tales T(v) v}

35 Álgebralineal 7. Si T: V W es una transformación lineal, entonces: a) dim V dim W b) dim V ν(τ) + ρ(τ) c) dim V ν(τ) ρ(τ) d) dim V ρ(τ) 8. La composición de transformaciones lineales S T(u) está definida por: a) S(u) + T(u) b) S(u)T(u) c) S[T(u)] d) T[S(u)] 9. Que una transformación lineal sea invertible significa que: a) Tiene inversa. b) Es inectiva. c) Es un operador lineal. d) Es supraectiva. 10. Ser invertible es equivalente a ser: a) Inectiva. b) Supraectiva. c) Transformación lineal. d) Isomorfismo. 269

36

37 Álgebralineal Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. a) No, porque {1, 2, 3} no es un espacio vectorial (No tiene el cero). b) Sí es, porque es función entre espacios vectoriales. 2. a) Dominio R 2, Imagen T R 2 b) Dominio R 3, Imagen T {2 tal que esté en R} c) Dominio M m n, Imagen T M n m 3. a) ( 2, 3, 1) b) (3, 0, 3) c) ( 6, 2, 8) d) (2, 6, 4) Ejercicio 2 1. a) No es. b) Sí es. c) No es. d) Sí es. e) Sí es. 2. T(1, 0) (1/2, 1/2); T(0, 2) (1, 1) 3. T(, ) (, 0) Ejercicio 3 1. a) nu T {0} b) nu T {(0, 0)} c) nu T {(, 2, ) R} d) nu T {0} 271

38 Unidad 7 2. a) nulidad 0; rango 1 b) nulidad 0; rango 2 c) nulidad 1; rango 2 d) nulidad 0; rango 1 3. a) {(1, 2)} es base para la imagen b) {(1, 1), ( 2, 1)} c) {(1, 0), (0, 1)} Ejercicio 4 1. a) Inectiva a que dim R < dim R 2 b) Supraectiva a que dim R 3 > dim R c) Isomorfismo a que dim R dim {3} 2. a) Supraectiva. b) Inectiva. c) Isomorfismo. 3. nu T {(0, 0, 0)}, por lo tanto, T es un isomorfismo. {(1, 1, 0), (1, 0, 2), (1, 2, 1)} es una base para R 3. Ejercicio 5 1. nu T {(0, 0, 0)}, por lo tanto, es inectiva. dim R 3 3 ν(τ) + ρ(τ) 0 + ρ(τ), por lo tanto, es supraectiva, donde T es un isomorfismo. 2. S T nu T {(0, 0)}, por lo tanto, es inectiva e isomorfismo, donde T es invertible. 272

39 Álgebralineal Respuestas a los ejercicios propuestos 1. Dominio R 2, Imagen {(, )} 2. Sí es lineal. 3. T(,, z) ( + z, ) 4. Sea a en R, entonces (a, 0) está en R 2 además T(a, 0) a+ 0 a, por lo tanto T es supraectiva. 5. Inectiva: T(a, b, c) T(,, z), entonces (a + b, a b, 2c) ( +,, 2z) de donde a, b, c z, por lo tanto, T es inectiva. a b a b c Supraectiva: Sea (a, b, c) en R 3, definimos + ; ; z, entonces T(,, z) (a, b, c), por lo tanto, es supraectiva un isomorfismo 6. nu T {d 3 } 7. rango 3, nulidad S T S ; T S T z z 0 z 0 0 Respuestas a la autoevaluación 1. b) 2. c) 3. a) V b) F c) V 4. d) 5. a) 6. b) 7. b) 8. c) 9. a) 10. d) 273

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