DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA


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1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CADENAS DE MARKOV CADENAS DE MARKOV ERGODICAS CADENA REGULAR DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE MÉTODO ANALÍTICO CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA DISCRETA ) INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA CONTINUA ) CREDITOS

2 CADENAS DE MARKOV Cada proceso suceso individual se denomina un estado. Habrá tantos estados como procesos o sucesos posibles. Para propósitos de notación utilizaremos S i que significa el i-ésimo estado de un total de m estados posibles: α>m>=2. Cada vez que se produce un nuevo resultado, se dice que el proceso ha avanzado un paso, Utilizaremos una n para indicar el número de pasos: n=0 nos indica el presente; n=1 representa el suceso posible en la siguiente selección; n=2 representa 2 pasos después, etc. Cuando n α se dice que el proceso se ha estabilizado y se encuentra en condiciones de estado estable. Los periodos de tiempo que identifican a un paso, son diferentes de acuerdo al sistema de que se trate. EJEMPLO: Tres fabricantes de automóviles tienen los siguientes datos con respecto a las compras de los clientes: Estados posibles n=0 posee actualmente n=1 porcentajeen decimales de que compre un Ford N=1 porcentajeen decimales de que compre un Chevrolet N=2 porcentajeen decimales de que compre un Nissan S 1 Ford S 2 Chevrolet S 3 Nissan

3 Representación de la Matriz de Transición 1) Definir los estados: Por extensión (S 1, S 2, S 3 ) y por comprensión: S1=Comprara un Ford, S 2 =compra un Chevrolet, S 3 Compra un Nissan. 2) Definir los renglones y las columnas. La "componente permanente" o retenciones (grupos que no cambian) aparecen como valores en la diagonal principal y la " componente de intercambio" (grupos que si cambian) aparecen como pérdidas en valores de renglones y las ganancias en columnas Todo lo anterior se resume de la manera siguiente: S1 S2 S3 S Permanencia P= S y S Ganancia Permanencia y pérdida La permanencia, cambio o ganancia de clientes de cada marca puede observarse mediante la siguiente gráfica, donde los estados son nodos y los cambios son vectores: 0.50 S S S

4 Cual es la probabilidad de que el propietario de un Nissan compre un Ford en la siguiente ocasión? Esto es en n=0, el estado es S 3, y se desea saber en n=1 la probabilidad de compra de un Ford (S 1 ). Respuesta: La probabilidad es 0.25 Características de una matriz de transición: 1.- Cada elemento debe ser una probabilidad o sea que debe tener valores entre cero y uno inclusive. No puede haber probabilidades negativas ni mayores a uno. 2.- Los elementos de cada renglón deben sumar exactamente uno. 3.- La matriz de transición siempre es cuadrada. S 1 S 2...S m S 1 P 11 P 12...P 1m =1 donde 0<=P ij <=1 S 2 P 21 P 22...P 2m =1 n P=.... P ij =1 donde i=1,2,3,m.... J=1 S m P M1 P M2 P MN =1 Un renglón de la matriz de transición representa a un vector Vi cuyas dimensiones son 1 *m. V 1 = [ ] Habrá tantos vectores como estados existan, para el ejemplo anterior se tienen 3 vectores

5 Ejemplo: S 1 = V 1 = [ ] S 2 = V 2 = [ ] S 3 = V 3 = [ ] Para conocer las probabilidades de compra de una persona que posee ahora un Ford dos pasos después comprara un Chevrolet, lo ilustraremos por medio de un diagrama de árbol de probabilidades. 0.4 F Ford Chevrolet (%) 0.3 Ch 0.4*0.3= N 0.4 F 0.2 F Ford 0.3 Ch 0.5 Ch 0.3*0.5= N 0.3 N 0.2 F 0.25 Ch 0.3*0.25= N n=0 n=1 n= Por lo tanto, la probabilidad de que el propietario de un Ford (S 1 ) en n=0, compre un Chevrolet (S 2 ), 2 pasos después, es igual a

6 Utilizando la técnica facilitada por Cadenas de Markov, resolveremos el ejemplo anterior: La pregunta se escribe así: Vi 2 que al desglosarlo queda: V 2 1 = (V 1 1) (P 1 ) Para propósitos de notación general,el subíndice indica el vector Vi y el superíndice indica n pasos después S 1 S 2 S 3 V 12 = [ ] = [ ] = S 1 = Ford x 3 3 x 3 Ejemplo: Teniendo un Nissan (S 3 ) en n = 0, encontrar las probabilidades de comprar un Ford en n = 3. V 3 3 = (V 31 ) (P 2 ) = (V 32 ) (P 1 ) V 1 3 P S 1 S 2 S 3 V 3 3 = [ ] = [ ] Otra forma de resolverlo: V 3 3 = ( V 32 ) (P 1 ) Verificando Solución: Primero calculamos V 2 3

7 V 3 2 V 3 2 = [ ] = [ ] V 3 3 = (V 32 ) (P 1 ) V 3 3 =[ ] De acuerdo a la notación utilizada, queda demostrado lo siguiente: V i0 = [P i1 P i2 P i3 P im ], donde P ii =1 Lo anterior significa que en n = 0, se conoce exactamente cual es el estado, por lo tanto la probabilidad de que exista es igual a 1. V 1 0 = [S 1 ], V 2 0 = [S 2 ], V 3 0 = [S 3 ]. Demostración: Un paso después: n = 1 V i1 = V i 0 P 1 Dos pasos después: n = 2 V i2 = V i 1 P 1 = ( V i 0 P 1 ) P 1 = V i 0 P 2 Tres pasos después: n = 3 V i3 = V i 2 P 1 = ( V i 0 P 2 ) P 1 = V i 0 P 3 n pasos después V i n = V i n-1 P 1 = ( V i 1 P n-2 ) P 1 = V i 0 P n Donde cada igualdad es un método distinto de solución, (a, b y c) Por lo tanto, las probabilidades de los sucesos después de n pasos a partir de ahora, pueden determinarse utilizando el vector de probabilidad V i y alguna potencia de la matriz de transición P. En forma general n pasos, llamado también condiciones de estado estable o a largo plazo, se utiliza la siguiente expresión: V i n = P n Condiciones de estado estable ; V i 0 =1

8 CADENAS DE MARKOV ERGODICAS Para asegurar la obtención de condiciones de estado estable, la cadena debe ser ergodica (también llamada irreducible). Una cadena ergodica describe matemáticamente un proceso en el cual es posible avanzar desde un estado i hasta cualquier estado "j. No es necesario que esto se logre en un solo paso pero debe ser posible para que cualquier resultado sea logrado independientemente del estado presente. Por ejemplo: Analicemos un sector de la ciudad compuesto por nueve esquinas. Consideremos a una esquina como un estado, por lo tanto habrá nueve estados posibles Cada vez que el conductor llega a una esquina, 2,4, 6 y 8 puede dar vuelta a la izquierda o derecha ó seguir de frente con igual probabilidad de 1/3. Si se encuentra en la esquina 5 tiene 4 posibilidades de avanzar con probabilidad de ¼. Si esta en la esquina 1, 3, 7 o 9, solo tiene dos posibilidades con probabilidad de ½. Con la información anterior se elabora la matriz de transición:

9 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 1 0 ½ 0 ½ =1 S 2 1/3 0 1/3 0 1/ S 3 0 ½ ½ S 4 1/ /3 0 1/3 0 0 P = S 5 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 S / / /3 S ½ ½ 0 S /3 0 1/3 0 1/3 S ½ 0 ½ 0 La manera más sencilla de verificar si una matriz de transición es ergodica, es elaborando una gráfica, como se vio anteriormente. Nos colocamos en cualquier estado y si a partir de éste se puede llegar a todos los demás, no importa que sea en uno o más pasos, entonces es una matriz ergodica. Ejemplo: Verifique si la siguiente matriz de transición es ergodica. S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1 X X 0 X X S 2 0 X X 0 X P = S X X S 4 X 0 X 0 X S 5 X X 0 0 0

10 Sea X igual a algún valor positivo p entre 0 y 1. Por inspección se observa que puedo ir directamente desde S 1 a S 2, S 4 y S 5 pero no a S 3 Con lo anterior queda demostrado que es posible llegar desde cualquier estado hasta el estado S 1 y esto implica que es posible ir a los demás estados. Por lo que se concluye que es una matriz ergodica. CADENA REGULAR Un caso más restringido de cadena ergodica, es una cadena regular. Una cadena regular se define como una cadena que tiene una matriz de transición P, que contiene elementos igual a cero y para la cual alguna potencia de P, únicamente tendrá elementos positivos de probabilidad (diferentes a cero. Todas las cadenas regulares pueden ser ergodicas, pero no todas las ergodicas son regulares). Cuando desaparecen los ceros si elevo la matriz de transición a una potencia, es regular y si puedo ir de uno de los estados a todos los demás, es ergodica. Ejemplo: S 1 S 2 S 3 S 1 X X 0 X X X P = S 2 X 0 X P 3 = X X X S 3 0 X X X X X Al multiplicar la matriz se busca tener elementos únicamente positivos. Es una matriz regular, por que al elevar P al cuadrado desaparecen los ceros.

11 DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTADO ESTABLE La existencia de condiciones de estado estable en una cadena ergodica regular, se encuentran elevando la matriz de transición n veces, también se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones que se desprende de la matriz de transición. A esta cadena de Markov se le conoce como de alto orden y nos indica los cambios futuros en las preferencias de los clientes. A medida que aumenta el valor de n, los valores P ij tienden hacia un limite fijo y cada vector de probabilidad V tiende a ser igual para todos tos valores de j. 1)Para un valor de "n" suficientemente grande, el vector de probabilidad V i n se hace igual para todas las i-es y no cambia para otros valores mayores a n dados. 2)Puesto que V 1 n+1 = V i n P y V i n+1 = V in, existe un vector V* = (V*)(P) El vector asterisco contiene las probabilidades que existen en condiciones de estado estable. Utilizando la matriz de transición del ejemplo de los automóviles, se obtienen los siguientes resultados de P para diferentes valores de n: Valores de P P 3 = P 8 = V * =[ ] Los elementos de cada columna tienden a ser iguales, cuando esto sucede, se les llama condiciones de estado estable, donde V* es el vector de estado estable. (Considere un mínimo de 5 decimales con calculadora)

12 Siguiendo con el mismo ejemplo, la matriz de transición es: P 3 = Transformando renglones por columnas: 0.4 V V V 3 = V 1 V 1 + V 2 + V 3 = V V V 3 = V 2 Igualando a cero -0.6 V V V 3 = V V V 3 = V V V V 3 = 0 V 1 + V 2 + V 3 = V V V 3 = 0 Utilizando el método analítico para resolver el sistema de ecuaciones o utilizando un programa de calculadora, se llega a las probabilidades de estado estable. V 1 = V2 = V3 = MÉTODO ANALÍTICO Condiciones de estado estable o de equilibrio a largo plazo

13 CADENAS DE MARKOV ABSORVENTES Los estados absorbentes describen procesos que terminan o finalizan después de alcanzar determinadas condiciones y dan como resultado un caso especial de cadenas de Markov, algunos ejemplos son: 1.- En control de calidad, después de encontrar un número predeterminado de partes que pueden ser aceptadas o rechazadas, se suspende la inspección secuencial. 2.- Después de x horas de funcionamiento, una máquina se detiene para repararla o reemplazarla. 3.- Después de que una persona ha trabajado en una empresa, puede jubilarse o recontratarse. 4.- Después del seguimiento que se hace a una cuenta bancaria esta se paga o se considera perdida CARACTERÍSTICAS. a) Un estado absorbente es aquel que tiene una probabilidad de ser abandonado igual a cero, o sea que una vez comenzado es imposible dejarlo y el proceso se detiene completamente o se detiene para luego comenzar a partir de algún otro estado. b) Una cadena de Markov es absorbente si: 1) Tiene por lo menos un estado absorbente. 2) Es posible ir desde cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No es necesario efectuar esta transición en un paso; ni es necesario alcanzar cada estado absorbente a partir de cualquier estado no absorbente.

14 EJEMPLO. 1 Los alumnos de una escuela técnica, cursan 4 años para terminar su carrera. De los que ingresan a primer año, 80% aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los que están en segundo año, 85% aprueba, 10% reprueba y el resto deserta. De los de tercer año, 80% aprueba, 15% reprueba y resto deserta. Los que están en el último grado, 85% se gradúa, 5% deserta y el resto reprueba. a) Cuántos años se espera que un alumno pase como estudiante? b) Cual es la probabilidad de que un estudiante se gradúe? Solución: Encontrar cuántos y cuales son los estados y modelar la matriz de transición. S 0 =Ingreso S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 N S 1 =Primer año S S 2 =Segundo año S S 3 =Tercer año P = S S 4 =Cuarto año S S 5 =Deserta S O S 6 =Se gradúa S a=estados absorventes n=estados no absorventes n a m=a+n A I n a

15 Una vez alcanzados los estados absorbentes S 5 y S 6, la probabilidad de que el proceso permanezca en el respectivo estado es 1. Por lo tanto es imposible (probabilidad cero) ir desde cualquiera de estos estados hasta cualquier otro. En realidad esto se debe a que el alumno tomó la decisión de dejar la escuela voluntariamente o decidió graduarse. A partir del análisis de cadenas de Markov absorbentes, se obtiene la siguiente información: 1.- El número de pasos antes de que el proceso sea absorbido, utilizando (I N -1 ) Para el ejemplo los pasos serían años. 2.- El número esperado de veces que el proceso está en cualquier estado no absorbente. Para el ejemplo, sería el número de años que el alumno permanece en cada grado. 3.- La probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado, por medio de la siguiente expresión (I-N) -1 *A. Para realizar los cálculos anteriores, la matriz de transición se subdivide en cuatro matrices y son los estados absorbentes los quedan la pauta para dicha subdivisión, (regresar al ejemplo) Donde N e I son opuestos por el vértice. Estas matrices más pequeñas contienen elementos de probabilidad que nos originan "a estados absorbentes y "n" no absorbentes que en total serían a + n = m estados. Matriz I: Es una matriz identidad de dimensiones a*a y representa las probabilidades de permanecer dentro de un estado absorbente. Matriz O: Es una matriz cero de a*n y nos indica las probabilidades de ir desde un estado absorbente hasta un estado absorbente. Matriz A: Es una matriz de n*a y contiene las probabilidades de ir desde un estado no absorbente hasta un estado absorbente.

16 Matriz N: Es una matriz de n*n que contiene las probabilidades de ir desde un estado no absorbente hasta un estado no absorbente. Continúa la solución.:calcular (I-N ) 1 NOTA: La matriz N que se utiliza en esta expresión, debe ser de las mismas dimensiones de I. I N I-N (I-N) = (I-N) 1 = Al número esperado de pasos antes de que el sistema o proceso se detenga (I-N) 1 A (I-N) 1 A = (I-N) 1 A = Probabilidad

17 La teoría de colas es la técnica de mayor aplicación potencial y sin embargo es quizás la más difícil aplicar debido a que el modelo utilizado, con frecuencia muy poco se ajusta a la realidad. Muchas de estas dificultades se pueden superar combinando la teoría con la experiencia del investigador. Toda clase de negocios, gobierno, industria, escuela y hospitales grandes y pequeños, todos en algún momento tienen problemas de "colas. Algunas veces las máquinas permanecen ociosas y en otros momentos, los clientes deben esperar. En algunas ocasiones los inventarios son excesivos y en otros momentos hay pedidos que no se satisfacen. A veces la industria funciona a media capacidad, los trabajadores sufren desempleo y los capitales permanecen ociosos. En otras ocasiones la capacidad de producción se aprovecha al máximo, la mano de obra escasea los abastecedores tienen grandes listas de pedidos en espera de ser atendidos. Ninguno de estos extremos es conveniente y hay una decisión administrativa básica que implica un equilibrio entre los recursos humanos, económicos y materiales. Para tomar decisiones al respecto, deben conocerse los siguientes puntos: Longitud de las colas. Porcentaje de utilización de las instalaciones de servicio Tiempo total que toma al usuario formarse y recibir el servicio. Disponibilidad de personal. Ejemplo: Lavado de autos Daytona TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA Para lavar cada auto en las instalaciones, se requieren dos minutos. Hay una sola maquina de lavar que es atendida por una sola persona y sólo se puede acomodar un auto a la vez. Si los clientes llegan exactamente a intervalos de dos minutos, el funcionamiento del negocio carecería de incertidumbre.

18 Si el sistema compuesto por la máquina de lavado y los clientes que esperan entrar a ella inician operaciones con seis clientes en su interior es posible que durante el día haya clientes siempre esperando. Si el sistema inicia las operaciones cuando esta vacío, el primer cliente que llega será atendido inmediatamente y no habrá automóviles en la cola. La mañana del día 1 de junio, cuando Pedro abrió las puertas a las 9:00 lloras, no había ningún cliente en el sistema de lavado. El primero llegó un minuto después de iniciadas las operaciones. Los tiempos de llagada de los primeros seis clientes se muestran a continuación: Número de cliente tiempo de tiempo desde la tiempo de entrada tiempo de salida tiempo total llegada llegada anterior a la máquina de en el sistema lavado 1 9:01 9;:0l 9:03 0:02 2 9:04 0:03 9:04 9:06 0:02 3 9:06 0;02 9:06 9:08 0:02 4 9:09 0:03 9:09 9: :10 0:01 9:11 9:13 0:03 6 9:11 0:01 9:13 9:15 0:04 =10 =15 Promedio de llegadas = 0:03 + 0:02 + 0:03 + 0:01 + 0: 01 = 0:10 10 min./5 eventos = promedio de llegada de 2 min. Promedio de tiempo total en el sistema = (0:02 + 0:02 + 0:02 + 0:03 + 0:04) / 6 = 2.5 min.

19 Tasa de Servicio (cuanto dura el servicio) = 2 min. Tasa de llegada en los primeros 11 minutos == 1 coche cada 2 minutos. Tasa de servicio en el sistema = 2.5 min. Tiempo ocioso en el sistema = 3 min. ELEMENTOS PRINCIPALES EN UNA LÍNEA DE ESPERA: Entrada (población infinita o finita). Fila (línea de espera). Servidores (unidad de servicio) Sistema Salida Entrada Finita Población Servidor Infinita Linea de Espera Unico o multiple CLIENTE: Unidad que llega requiriendo algún servicio. Pueden ser personas, máquinas, refacciones, etc. COLA (línea de espera) : Es el numero de clientes que esperan ser atendidos (la cola no incluye al cliente que esta siendo atendido). UNIDAD DE SERVICIO: Es el proceso, sistema o persona que esta efectuando el servicio al cliente, éste puede ser simple ó múltiple. Se identificará con la letra k.

20 EJEMPLOS: Los aficionados a un encuentro de fútbol son los clientes y el (los) empleado(s) que vende(n) los boletos son las unidades de servicio. En un estacionamiento los automóviles son los clientes y tos espacios de estacionamiento las unidades de servicio. Las tarjetas de crédito serían los clientes y las cajas automáticas de los bancos serian las unidades de servicio. TASA DE LLEGADA (clientes por periodo de tiempo). (λ): Es la tasa a la cual tos clientes llegan para ser atendidos. Se supondrá en la mayoría de los problemas que esta tasa corresponde a una distribución aleatoria de Poisson. TASA DE SERVICIO (clientes por período de tiempo) (µ): Es la tasa a la cual una unidad de servicio proporciona el servicio a un cliente y puede alcanzarse cuando la unidad de servicio está siempre ocupada. Supondremos que esta tasa está aleatoriamente distribuida según una distribución de Poisson. PRIORIDAD: Esta suposición consiste en que el primero que llega es el primero en ser atendido. Esta suposición afecta la deducción de las ecuaciones utilizada en el análisis. TAMAÑO DE LA POBLACIÓN: Cuando el número de clientes potenciales es mayor a 30 se considera una población es infinita; cuando es menor a 30, será una población finita. DISTRIBUCIÓN DE TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO: La suposición más frecuente para estos casos, es la distribución de Poisson, donde se considera que ambas tasas deban ser completamente independientes y que permanezcan constantes con el tiempo, aunque esto último puede no ser verdadero debido a un cambio temporal de la tasa de servicio.

21 POBLACIÓN INFINITA PARAMETRO K=1 K>1 Probabilidad de hallar el sistema ocioso o desocupado (P 0 ) Probabilidad de hallar ocupado o trabajando el sistema ( ρ ) Probabilidad de hallar k clientes o más en el sistema Probabilidad de que haya n clientes en la cola Número esperado de clientes en la cola.

22 POBLACIÓN INFINITA PARAMETRO K=1 K>1 Número esperado de clientes en el sistema Tiempo esperado en la cola Tiempo esperado en el sistema Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema Probabilidad de que un cliente permanezca mas t unidades de tiempo en la linea de espera

23 POBLACIÓN FINITA PARAMETRO K=1 K>1 Probabilidad de hallar el sistema ocioso o desocupado (P 0 ) Probabilidad de que haya n clientes en la cola Número esperado de clientes en la cola. Número esperado de clientes en el sistema

24 POBLACIÓN FINITA PARAMETRO K=1 K>1 Tasa de llegada promedio Tiempo esperado en la cola Tiempo esperado en el sistema

25 INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA DISCRETA ) Las empresas se enfrentan con frecuencia a problemas en los que se tiene esta sucesión de eventos: 1. La empresa decide cuántas unidades pedir. Sea q el número de unidades pedidas 2. Con una probabilidad p(d), se tiene una demanda de d unidades. En esta sección supondremos que d debe ser un entero no negativo. Sea D la variable aleatoria que representa la demanda. 3. Dependiendo de d y de q, se incurre en el Costo c (d,q). Los problemas que siguen esta secuencia se llaman problemas del vendedor de periódicos. Para ver por que es así, pensemos en un vendedor que debe decidir cuantos periódicos pedirá cada día a la editorial. Si el vendedor pide demasiados se quedará con muchos sin vender, al fina del día. Por otro lado, un vendedor que pide muy pocos periódicos perderá ganancias (y enojará a sus clientes) que podrían haber sido suyas si hubiera pedido periódicos suficientes para cumplir con la demanda. El vendedor debe pedir el número de periódicos que equilibre en forma adecuada a esos dos costos. En esta sección mostraremos como se puede emplear el análisis marginal, para resolver problemas de vendedor de periódicos. Cuando la demanda es una variable discreta y c (d,q) tiene la forma siguiente: c(d, q) = C o q + (términos sin q) (d <= q) (2) c(d,q) = -C u q + (términos sin q) (d >= q + I) (2.1) En la ecuación (2), C o es el costo unitario de comprar demasiado. Si d <= q, hemos pedido más de lo que es la demanda, esto es, estamos sobreabastecidos. Si el tamaño del pedido aumenta de q a q+í, la ecuación (2) muestra que el costo se incrementa en C o. Por lo tanto C o es el costo debido a tener 1 unidad de excedente. A Co se le llama costo de sobre abastecimiento. Igualmente, si d >= q + 1, tenemos faltantes hemos pedido una cantidad menor que la demanda.

26 Si d >= q +1, y aumentamos en 1 el tamaño del pedido, nuestro faltante será una unidad menor. Entonces (2.1) indica que el costo se reduce en Cu y. por tanto, Cu es el costo unitario de tener faltantes. A C u se le llama costo de sub abastecimiento. Para deducir la cantidad óptima de pedido por medio del análisis marginal, sea E(q ) el costo esperado si se hace un pedido de q unidades. Suponemos que la meta de quien toma las decisiones es encontrar el valor q* que minimiza a E(q). Si c(d,q) se puede describir mediante las ecuaciones (2) y (2.1) y si E(q) es función convexa de q, entonces se puede emplear el análisis marginal para determinar q*. Siguiendo con la ecuación (1),debemos determinar el valor mínimo de q para el cual E(q+1)-E(q)>= 0. Para calcular E(q+1) - E(q) debemos tener en cuenta dos posibilidades: Caso 1 d <= q. En este caso, si se piden q + 1 unidades en lugar de q, se hace que tengamos sobrante, o estemos sobreabastecidos en una unidad más. Esto aumenta en C o el costo. La probabilidad que se tenga el caso 1 es simplemente P( D <= q), donde D es la variable aleatoria que representa a la demanda. Caso 2 d >= q + 1. En este caso, pedir q + 1 unidades en lugar de q, hace que tengamos escasez de una unidad menos. Esto disminuirá C o nuestro costo. La probabilidad de tener el caso 2 es: P(D >= q + 1 = 1 P(D <= q) En resumen, una fracción P(D <= q) de las veces, pedir q + 1 unidades costara C o más que si se piden q unidades, y una fracción 1 - P(D <= q ) de las veces, pedir q + 1 unidades costara C u menos que si se piden q unidades. Así, en promedio, pedir q + 1 unidades cuesta: más que si se piden q unidades. C o P(D <= q) - C u - P(D <= q)

27 De modo mas formal, hemos demostrado que: Entonces E(q + 1) - E(q) >= O será valida si E(q+1)-E(q)=C o P(D<=q) - C u 1- P(D<=q) (C o + C u ) P(D <= q) >= O o sea P(D <= q) >= C u = (C o + C u ) P(D <= q) - C u (C o - C u ) Sea F(q) = P(D <= q) la distribución de la función de demanda. Como es aplicable el análisis marginal, acabarnos de demostrar que E(q) será reducida al mínimo por el valor mínimo de q (llamémosle q*) que satisface a: F(q*)>= C u (3) (C o - C u ) El ejemplo siguiente muestra el uso de la ecuación (3). EJEMPLO 1 Walton Bookstore debe decidir en agosto cuantos calendaros de la naturaleza pedir para el próximo año. Cada calendario le cuesta 2 dólares y los vende a 4.50 dólares. Después del 12 de enero, cualquier calendario no vendido se regresa al editor y se reciben 75 centavos por cada uno. Walton cree que el numero de calendarios vencidos al 12 de enero sigue la distribución de probabilidad mostrada en la Tabla 1. Walton desea maximizar la ganancia neta esperada debida a ventas de calendarios. Cuántos calendarios debe pedir en agosto? *Como p(d - q) aumenta al aumentar q. E(q +1) - E(q) aumentara al aumentar q. Por lo tanto, si C o + Cu >= 0 E(q) es función convexa de q, y se justifica el uso del análisis marginal. *Basado en Barron (1985).

28 Tabla 1 Función de masa de probabilidad para las ventas de calendarios Solución. Sean: No. de calendarios vendidos Probabilidad q = numero de calendarios que se piden en agosto d = numero de calendarios necesitados hasta el 1 de enero Si d <= q, se incurre en los costos de la Tabla 2. La ganancia es costo negativo. De acuerdo con la ecuación (2), C o = Si d >= q +1, se incurre en los costos que aparecen en la Tabla 3. De acuerdo con la ecuación (2), -C u = -2.5, o sea C u = 2.5. Entonces C u = = C o + C u De acuerdo con la ecuación (3); Walton debe pedir q* calendarios, donde q* es el menor número para el cual P(D <=q*) >= 2/3. Como función de q, P(D <= q) aumenta solo cuando q = 100,150, 200, 250 o 300. Nótese también que P(D <= 100) =0.30 P(D <= 150) =0.50, P(D <= 200 )= Como P(D <= 200) es mayor o igual que 2/3. Se debe pedir q* = 200 calendarios.

29 Tabla 2 Cálculo del costo total si d <= q COSTO Compra de q calendarios a 2 dólares c/u 2q Venta de d calendarios a 4.50 dólares c/u -4.5d Devolución de q - d calendarios a 75 centavos c/u (q - d) Costo total 1.25q-3.75d Tabla 3 Cálculo del costo total si d >= q + 1 COSTO Compra de q calendarios a 2 dólares c/u 2q Venta de d calendarios a 4.50 dólares c/u -4.5q Costo total -2.5q OBSERVACIONES 1. En términos del análisis marginal, la probabilidad de vender el 200 calendario que se pide es P(D >= 200) = 50. Esto significa que el 200 calendario vendido tiene probabilidad = 0.50 de no ser vendido. Así, el 200 calendario aumentará los costos esperados de Walton en 0.50(-2.50) (1.25) = dólares. En consecuencia, se debe pedir el 200 calendario. Por otro lado, la probabilidad de vender el 201 calendario es P(D >= 201) = 0.20 y la probabilidad de que no se venda es = Por lo tanto, el 201 calendario aumentará los costos esperados en 0.20(-2.50) (1.25) = 0.50 dólares. Así, el 201 calendario aumentará los costos esperados y no se debe pedir.

30 2. En el ejemplo 1 se podrían haber calculado fácilmente C o y C u sin recurrir a las ecuaciones (2) y (2.1). Por ejemplo, si hay una unidad mas que la demanda real, se aumentan los costos de Walton en = 1.25 dólares. Así, C o = 1.25 dólares. Igualmente, con una unidad menos qué la demanda real, le costara = 2.50 dólares a Walton, en términos de ganancias. Por lo tanto, C u = 2.50 dólares. Si podemos calcular C o y C u sin emplear las ecuaciones (2) y (2.1), lo deberíamos hacer. Sin embargo, en problemas más difíciles las ecuaciones pueden ser de mucha utilidad. INVENTARIOS PROBABILISTICOS ( DEMANDA CONTINUA ) A continuación veremos el caso del vendedor de periódicos cuando la demanda D es variable aleatoria continua que tiene una función de densidad f(d). Al modificar el argumento de análisis marginal visto anteriormente o mediante la regla de Leibniz para diferenciar una integral se puede demostrar que el costo esperado por el tomador de decisiones se reduce al mínimo cuando pide q* unidades, donde q* es el número mínimo que satisface a: P ( D <= q*) >= C u (4) C o -C u Como la demanda es una variable aleatoria continua, podemos determinar un número q* para el cual la expresión (4) sea válida como igualdad. Por lo tanto en este caso, la cantidad óptima por pedir se puede obtener al determinar el valor de q* que satisfaga: C u C u P(D<=q')= C o + C u o P(D>=q*)>= C o + C u (5)

31 Según esta ecuación, vemos que lo óptimo es pedir unidades hasta el punto en el que la última que se pida tenga una probabilidad: C u de venderse. EJEMPLO 1 C o + C u La American Bar Association (ABA) efectúa su convención anual en Las Vegas. Seis meses antes de que inicie la convención, la ABA debe decidir cuantas habitaciones debe reservar en el hotel sede. En este momento, la ABA puede reservar habitaciones a un costo de 50 dólares cada una, pero seis meses antes de la convención, la ABA no sabe con certeza cuanta gente asistirá a la convención. La ABA cree, sin embargo, que el número de habitaciones necesarias tiene una distribución normal con promedio 5000 y desviación estándar Si el número necesario de habitaciones es mayor que el reservado en el hotel sede, se tendrán que pagar habitaciones en los hoteles cercanos a un costo de 80 dólares por habitación. Para los participantes en la convención es incomodo alojarse en hoteles vecinos. Se mide la incomodidad al estimar un costo adicional de 10 dólares por cada habitación ocupada en un hotel vecino. Si la meta es reducir al mínimo el costo esperado por la ABA y sus miembros, Cuántas habitaciones debe reservar la ABA en el hotel sede? Solución Definimos q = número de habitaciones reservadas d = número de habitaciones necesarias en realidad Si d <= q, entonces el costo en que se incurre es el costo de las habitaciones reservadas con anterioridad y, por lo tanto, el costo total es 50q. Así, C o = 50. Si d >= q + 1, se incurre en los siguientes costos:

32 Costo de reservación de q habitaciones = 50q. Costo de renta de d - q habitaciones en hoteles vecinos = 80(d- q). Costo de incomodidad a los participantes adicionales = 10(d -q) Costo total = 90d-40q y C u =40 Como C u / (C o + C u ) = 40/90 = 4/9, según la ecuación (5), el número óptimo de habitaciones que se debe reservar es el numero q* que satisfaga P(D <= q*) = 4/9 (6) Como D tiene distribución normal con promedio y desviación estándar 2000, podemos normalizar la ecuación (6) con respecto a la variable aleatoria D y obtener: P(D P (D-5000 <= q*-5000) = P (Z <= q* ) = En la Fig. 2 vemos que (q* ) / 2000 debe ser igual al número que tenga un área a la izquierda de él en las tablas de distribución normal estándar. Según esa tabla, vemos que P(Z <=- 0.14) = Entonces q*-5000 = q*= (0.14) =4720

33 Figura 2 Determinación de q* para el ejemplo de reservación de habitaciones en hotel = q* Por lo tanto, la ABA debe reservar habitaciones.

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