Clase martes 27 de noviembre 2007 (problemas de repaso)


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1 Clase martes 27 de noviembre 2007 (problemas de repaso) Problema 1 Un agricultor posee tres plantaciones de naranjas y desea determinar la forma de enviar los cargamentos a tres plantas de procesamiento para maximizar sus beneficios. La Tabla 1 muestra las distancias (en millas) entre las plantaciones y las respectivas plantas, así como los requerimientos de cada planta y las cantidades disponibles de naranjas en cada plantación. Tabla 1 Distancia (en millas) Plantación Ocala Orlando Leesburg Oferta (ton.) Lynne Eustis Clermont Demanda (ton.) Si el costo de transporte es de $0.10/ton-milla y las utilidades brutas obtenidas por el agricultor en cada fábrica son: en Ocala $9.50/ton, en Orlando $6.50/ton y en Leesburg $5.00/ton, determine la forma de realizar los envíos que maximice los beneficios al agricultor. Problema 2 Para la siguiente red de distribución determine la forma de envío de mercancías de las plantas 1 y 2 a las ciudades 5, 6 y 7 que permita minimizar el costo total de transporte Problema El anco Mercantil desea mudar su centro de operación de la vicepresidencia de tarjetas de crédito desde su actual oficina en el edificio principal del banco a una nueva sede ubicada en el este de la ciudad donde dispondrá de mayor espacio para atender a los tarjetabientes. La junta directiva ha establecido como fecha límite 22 semanas a partir de la semana entrante. El traslado de las oficinas es difícil de coordinar pues involucra a muchas divisiones del banco: la división inmobiliaria deberá seleccionar la oficina en sí a donde se mudarían entre varias opciones posibles, recursos humanos deberá determinar cuáles empleados se mudarán a la nueva sede y cuántos deberán contratarse y entrenarse, la gerencia de administración deberá prever los gastos operativos relativos a la mudanza, etc...

2 Específicamente listamos a continuación las actividades involucradas en el proyecto de mudanza: ACTIVIDAD DESCRIPCIÓN PRECEDIDA POR TIEMPO DE EJECUCIÓN (semanas) COSTO A INCURRIR ($) A Seleccionar oficina Crear plan organizacional y financiero C Determinar requerimientos de personal D Diseñar la instalación A, C E Remodelar y equipar la oficina D F Seleccionar el personal a transferir C G Contratar nuevos empleados F H Efectuar la mudanza física, muebles, personal clave, etc. F I Hacer arreglos financieros con departamento de finanzas J Capacitar nuevo personal H, E, G a. Elabore el diagrama de red para el proyecto. b. Determine para cada actividad el tiempo de inicio y el tiempo de terminación más temprano. c. Determine para cada actividad el tiempo de inicio y el tiempo de terminación más tardío. d. Determine la ruta y actividades críticas. e. Determine las holguras totales para cada actividad. f. Elabore el cronograma final de programación de actividades. g. Elabore un presupuesto semanal de costos del proyecto final suponiendo que todas las actividades comenzarán lo más pronto posible. h. Con este programa, es posible cumplir con las expectativas de la junta directiva? Habiendo analizado lo anterior, suponga que la capacitación de los nuevos empleados puede hacerse en una sede alquilada y no necesariamente en la nueva oficina, así no habría que esperar que la sede esté lista para efectuar la capacitación, sino que ésta pudiera hacerse paralelamente a la remodelación de la oficina. Para ello deberá añadirse una nueva actividad (K) con una duración estimada de 3 semanas y un costo de $1500 para preparar la capacitación. Como quedaría el programa con esta nueva consideración?

3 Resolución Problema 1 Este es un problema de maximizar la utilidad total que recibe el agricultor al colocar la producción de las plantaciones. La utilidad neta para cada par origen-destino se calcula restando a la utilidad bruta de cada planta (destino) el costo unitario de transporte (costo por ton-milla). Por ejemplo para el envío entre Lynne y Ocala la utilidad neta sería: Utilidad neta = utilidad bruta costo unitario transporte = 9,5 0,10 * 21 = 7,4 Obsérvese que para el envío desde Lynne a Orlando la utilidad neta sería negativa; es decir, habría una pérdida de $0,5 por cada tonelada de naranjas enviada a esta planta (destino) desde Lynne. El problema está desbalanceado. La oferta total es superior a la demanda total. En este caso se agrega una columna que tendrá como demanda la diferencia entre la oferta total y la demanda total. Oi = 1150 Dj = 950 Demanda destino ficticio = = 200 Los valores de utilidad neta para la columna ficticia dependen de la naturaleza del problema. Si las plantas no desean recibir más cantidad que lo demandado. La utilidad neta sería 0 en cada una de las celdas; esto implicaría que el excedente de oferta se almacenaría en cada plantación y como no hay información sobre el costo de almacenamiento este valor sería cero. Por otro lado, si las plantas pueden recibir más cantidad que lo inicialmente demandado, la utilidad neta para cada una de las celdas sería la mayor utilidad desde cada plantación (origen). Esto implicaría que una cantidad asignada a esta celda representaría la cantidad adicional que recibe esa planta. La tabla de transporte planteada muestra esta situación. Ocala Orlando Leesburg Ficticio 7,4-0,5 1,0 7,4 Lynne 450 6,0 3,5 3,5 6,0 Eustis 400 1,5 5,5 2,5 5,5 Clermont

4 La solución inicial de este problema se encuentra por el método de la utilidad máxima (recuérdese que tenemos un problema de maximización). Esta solución se muestra a continuación: Ocala Orlando Leesburg Ficticio Lynne Eustis Clermont 7,4-0,5 1,0 7, ,0 3,5 3,5 6, ,5 5,5 2,5 5, Podemos verificar si la solución inicial es óptima o no. Para esto calculamos los multiplicadores de transporte aplicando la propiedad de que para las variables básicas el costo reducido es cero. El costo reducido para un par origen-destino (i,j) será: Costo reducido ij = Cij (Ui + Vj) Como una de las restricciones es redundante podemos fijar arbitrariamente uno de los multiplicadores de transporte en cero y calcular los demás a partir de las variables básicas. La siguiente tabla muestra el cálculo de los multiplicadores fijando en 0 el multiplicador de la fila 1. Ocala Orlando Leesburg Ficticio Lynne Eustis Clermont 7,4-0,5 1,0 7, ,0 3,5 3,5 6, ,5 5,5 2,5 5,5 300 V 1 =7,4 V 2 =1,0 V 3 =1,0 V 4 =7,4 U 1 =0 U 2 =2,5 U 3 =4,5 Una vez calculados los multiplicadores de transporte podemos calcular los costos reducidos para las variables no básicas, utilizando la fórmula indicada arriba. La siguiente tabla muestra los costos reducidos para las variables no básicas.

5 Lynne Eustis Ocala Orlando Leesburg Ficticio 7,4-0,5 1,0 7, , ,0 3,5 3,5 6,0-3, ,9 U 1 =0 U 2 =2,5 Clermont 1,5 5,5 2,5 5,5-10, ,0-6,4 U 3 =4,5 V 1 =7,4 V 2 =1,0 V 3 =1,0 V 4 =7,4 Como podemos observar todos los costos reducidos son negativos, por lo tanto como estamos en un problema de maximización la solución inicial es óptima. Ninguna variable no básica puede entrar a la solución y mejorar el valor de la función objetivo. El gráfico muestra la solución óptima de este problema. Lynne 400 Ocala 50 Eustis Orlando Clermont 300 Leesburg Resolución Problema 2 Éste es un problema de transbordo. Los problemas de transbordo pueden tener localidades que son: Puntos de origen puro (localidades que sólo envían) Puntos de destino puro (localidades que sólo reciben) Puntos de transbordo (localidades que envían y reciben) En este problema el nodo 1 es un origen puro, el nodo 7 es un destino puro y los nodos 2, 3, 4, 5 y 6 son puntos de transbordo. Para construir la tabla de transbordo las localidades de origen puro y de transbordo aparecen como orígenes (filas) y las localidades de destino puro y de transbordo aparecen como destinos (columnas). Es necesario sumar a las cantidades de oferta o demanda de los puntos de transbordo un valor denominado amortiguador o buffer de transbordo que es igual a la oferta total o a la demanda total del problema balanceado. En este problema el buffer es igual a. En la tabla se colocan los costos directos de transporte, se coloca un costo muy alto M para los enlaces que no están permitidos y un costo de cero para la celda correspondiente al mismo punto de transbordo. A continuación se presenta la tabla del problema de transbordo.

6 M M M M M M M M 3 M M 0 M M M M 0 5 M 5 M M M M La solución óptima de este problema se muestra en la siguiente tabla M M M M M M 1200 M M M M 0 M M M M 0 5 M M M M M

7 En la tabla se puede identificar donde ocurre el transbordo examinando las celdas de costo cero. Las celdas que tienen como cantidad el valor del buffer () no tuvieron transbordo. Las celdas de costo cero con cantidades inferiores a fueron usadas como puntos de transbordo La cantidad que se transbordó es la diferencia entre el valor de y el valor asignado a dichas celdas. El gráfico muestra la solución óptima de este problema representada como una red. Como se puede observar el transbordo ocurre en los nodos 3 () y 6 (500). El nodo 4 no es utilizado en la red de distribución. Resolución Problema 3 La figura muestra la red de actividades del proyecto utilizando la representación de las actividades como enlaces. Esta representación requiere el uso de actividades ficticias para indicar la precedencia de la actividad C sobre la actividad D (F 1 ) y para evitar que dos actividades (actividades G y H) unan a los mismos nodos (F 2 ). En el gráfico se ha etiquetado la red lo que permite calcular los tiempos de inicio y culminación más tempranos y los tiempos de inicio y culminación más tardíos (estos tiempos también se observan en la tabla anexa). ACTIVIDAD EN RUTA CRÍTICA TIEMPO ACTIVIDAD INICIO MÁS TEMPRANO CULMINAC. MÁS TEMPRANA INICIO MÁS TARDÍO CULMINAC. MÁS TARDÍA HOLGURA (LS ES) A No Sí C Sí D Sí E Sí F No G No H No I No J Sí Tiempo de duración del proyecto = 23 semanas Número de rutas críticas = 1

8 Las actividades críticas son las actividades que tienen holgura cero, es decir, si la actividad se atrasa más allá de su tiempo programado la duración del proyecto de 23 semanas se vería afectada. En este ejemplo las actividades críticas son C D E J. El cronograma de ejecución muestra las actividades del proyecto ordenadas por orden alfabético. Para cada actividad hay dos barras, la primera se refiere a los tiempos más tempranos de inicio y culminación de la actividad y la segunda corresponde a los tiempos más tardíos de inicio y culminación. Estas barras se solapan para las actividades críticas. Las actividades no críticas pueden programarse para comenzar entre su tiempo más temprano y su tiempo más tardío de inicio. Diagrama Gantt del Problema 3 A C D E F G H I J SEMANAS La siguiente tabla muestra la distribución de los costos del proyecto por semana. En este caso se divide el presupuesto de cada actividad por el número de semanas y se distribuye uniformemente considerando que todas las actividades comenzarán en su fecha más temprana. Se totalizan los costos para cada semana y se colocan en la fila total. SEMANA ACTIV A C D E F G H I J TOTAL

9 SEMANA ACTIV A C D E F G H I J TOTAL SEMANA ACTIV A C D E 4000 F G H I J TOTAL Con las condiciones iniciales no es posible cumplir con las expectativas de la junta directiva ya que el proyecto se culminaría en 23 semanas. Añadiendo una nueva actividad K (preparar la capacitación) que puede comenzar simultáneamente con la actividad E (remodelar y equipar oficina) la red de actividades quedaría así: La actividad J (capacitar nuevo personal) comenzaría una vez culminadas las actividades K (preparar la capacitación) y la actividad G (contratar nuevos empleados). Al incluir la nueva actividad K el proyecto se puede culminar en 20 semanas. Las actividades críticas serían ahora C D E. El proyecto tendría un costo adicional de $1500 por esta nueva actividad K. No se dibujan el nuevo cronograma de las actividades ni la distribución semanal del presupuesto.

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