Métodos generales de generación de variables aleatorias


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1 Tema Métodos generales de generación de variables aleatorias.1. Generación de variables discretas A lo largo de esta sección, consideraremos una variable aleatoria X cuya función puntual es probabilidad es P (X x i ) p i 0, i I y i I p i Método de inversión de la función de distribución Para generar valores de X a partir de números aleatorios, dividimos el intervalo (0, 1) en tantas partes como valores tome la variable X, de modo que el i-ésimo intervalo tenga probabilidad p i. 19

2 0 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias Figura.1: Inversión de la función de distribución Se asigna a X el valor x i si el valor u generado de una distribución U(0, 1) verifica: i 1 p k < u k1 i p k, k1 es decir, si F X (x i 1 ) < u F X (x i ). Que este método genera, efectivamente, valores que siguen la distribución de X se sigue de la siguiente expresión P (X x i ) P ( i 1 p k < U k1 ) i p k k1 i i 1 p k p k p i, k1 k1 Obsérvese que una vez generado el número aleatorio u, encontrar el valor generado de X consiste en encontrar el intervalo (F X (x i 1 ), F (x i )] al que pertenece u, lo que equivale a encontrar la inversa de F X. La interpretación geométrica del método sería la siguiente:

3 .1. Generación de variables discretas 1 Figura.: Interpretación geométrica del método de inversión En resumen, el algoritmo sería el siguiente 1.- Generar un número aleatorio u. Hacer i 1..- Si F X (x i ) u, hacer i i + 1 y volver al paso. En caso contrario, ir al paso x i es el valor generado de la variable X. La eficiencia del método dependerá de cómo se realice la observación del intervalo que contiene a u. El caso más simple sería empezar por la izquierda y movernos hacia adelante; primero comprobar si u p 1, en cuyo caso X x 1. Si u > p 1, ver si u p 1 +p y en ese caso X x,..., etc. El número de comparaciones dependerá de u y de las probabilidades p i, con lo que si los primeros valores de p i son pequeños, la probabilidad de que tengamos que hacer un gran número de comparaciones aumenta. Esto sugiere la posibilidad de procedimientos de búsqueda más sofisticados, por ejemplo ordenar los valores de X en orden decreciente de probabilidad.

4 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias Algunos ejemplos: Generación de una variable bernoulli Generación de una distribución uniforme discreta Generación de una distribución de Poisson Generación de una distribución discreta cualesquiera. Ejemplo.1. Generación de una permutación de {1,..., n} aleatoriamente Idea: generamos un número de una distribución uniforme discreta entre 1 y n y lo colocamos en la posición n. Luego generamos un número entre los n 1 restantes y lo colocamos en la posicion n 1, etcétera. Problema: Cómo controlar en cada etapa k cuáles son los n k números que todavía no han sido asignados. Solución: Tomar una permutación inicial e ir intercambiando las posiciones El método podría estructurarse de la siguiente forma 1. Elegimos una permutación cualquier P 1 P... P n de {1,..., n}.. Tomar k n 3. Generamos un número aleatorio u y consideramos x [ku] Intercambiamos los valores de las posiciones P x y P k. 5. Hacemos k k 1. Si k, ir al paso P 1 P... P n es la permutación resultante

5 .1. Generación de variables discretas 3 Como caso particular de esta aplicación, podemos utilizarla para generar un subconjunto relativo de {1,..., n} de h elementos. Para ello, basta proceder con el método anterior hasta obtener los últimos h elementos de la permutación P n h+1,..., P n que constituirían el subconjunto aleatorio buscado (si h > n h, se pueden generar los últimos n h elementos y los h restantes constituirían el conjunto buscado)..1.. Método de composición Consideremos X 1 y X dos variables discretas con funciones de probabilidad puntual {p i } y {q i }, respectivamente, y supongamos que deseamos generar valores de una variable aleatoria X cuya función puntual de probabilidad viene dada por: P (X i) αp i + (1 α)q i, α (0, 1). Se asume que sabemos generar valores de X 1 y X. Para generar un valor de X, generamos un número aleatorio u. Si u < α, generamos un valor de X 1 ; en caso contrario, generamos un valor de X. Ejemplo.. Supongamos que deseamos generar valores de una variable aleatoria X cuya función puntual de probabilidad viene dada por: i p i La función puntual de probabilidad se puede escribir como p i 0.6q 1 i + 0.4q i, donde q 1 i y q i son las funciones puntuales de probabilidad de dos variables discretas uniformes.

6 4 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias i q 1 i q i Por lo tanto, podríamos generar valores de X mediante el siguiente algoritmo. 1. Generar de forma independiente dos números aleatorios u 1 y u. Si u 1 <0.6, generar como salida de X el valor [5u ]. En caso contrario, generar como salida de X el valor [u ] + 4. Ejemplo.3. Deseamos generar valores de una distribución B (5, 0.). La función de probabilidad de esta distribución viene dada por: i p i Vamos a intentar escribir esta función de probabilidad como combinación lineal convexa de otras funciones de probabilidad que, en principio, sean más fáciles de generar. Por ejemplo, podríamos descomponer cada una de las p i de la siguiente forma: p }{{} suma de décimas } {{ } suma de milésimas décimas en p 0 {}}{ milésimas enp 0 { }} { }{{} suma de centésimas } {{ } suma de diezmilésimas p p p centésimas en p 0 {}}{ diezmilésimas en p 0 { }} {

7 .1. Generación de variables discretas 5 p p De este modo, se tiene que p i 0.9q 1 i q i q 3 i q 4 i, donde las distribuciones q j i son la que figuran en la siguiente tabla i qi 1 qi qi 3 qi Método de aceptación y rechazo Supongamos que deseamos simular valores de una variable aleatoria X cuya función puntual es probabilidad es {p i }. Por otra parte, disponemos un método eficiente para simular valores de una variable discreta Y con función puntual de probabilidad {q i } y que existe una constante M > 1 tal que p i Mq i, i Entonces, para simular valores de X se simula un valor y de Y y un número aleatorio u, y se acepta y como valor simulado de X si u El método se resume en los siguientes pasos p y Mq y.

8 6 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias 1. Generar un valor y de la variable Y y un número aleatorio u. Si u py Mq y, entonces y es el valor generado de la variable X. En caso contrario, volver al paso 1. Teorema.4. El método de aceptación y rechazo genera valores de la variable aleatoria X con función puntual de probabilidad {p i }. Demostración. Observemos que la probabilidad de generar el valor y en una determinada iteración es: ( P Y y, U < p ) ( Y P U < p ) Y Y y P (Y y) Mq Y Mq ( Y P U < p ) y P (Y y) Mq y p y Mq y q y p y M Por otro lado, la probabilidad de que en cada iteración el valor generado sea aceptado (independientemente de cuál sea el valor) es ( P U < p ) Y Y y P (Y y) Mq Y y y p y M 1 M Consecuentemente, el número de iteraciones necesarias para aceptar un valor es una variable geométrica de media M. P (X y) n 1 P (se acepta y en la iteración n n 1 P (rechazar en las n 1 primeras y aceptar j en la n) como las iteraciones son independientes ( 1 1 ) n 1 p y M M n 1 p y

9 .1. Generación de variables discretas 7 Puesto que, como se ha visto, el número de iteraciones necesarias para aceptar un valor es una variable geométrica de media M, el porcentaje de no rechazos es 1. M Consecuentemente, cuanto M sea más cercano a 1 (nunca puede ser menor que 1), más eficiente será el método Método del alias El método de Alias, desarrollado por Walker (1977) es un procedimiento para generar variables aleatorias discretas con soporte finito. Se basa en la descomposición de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X en n, siendo n el cardinal del soporte, distribuciones de probabilidad bipuntuales todas ellas equiprobables. El soporte de cada una de estas distribuciones X i, consistirá en el valor i correspondiente de la distribución original, además de un segundo valor, llamado alias, y denotado por a i, que será otro de los valores que toma la variable X. El procedimiento consistirá básicamente en aplicar el método de composición. Se obtendrá un número aleatorio que será transformado en un entero I con distribución uniforme en el conjunto {1,,..., n}. Este valor I servirá para seleccionar una de las n distribuciones de probabilidad bivaloradas construidas. A continuación, se seleccionará un segundo número aleatorio que nos permitirá elegir como valor generado de la distribución de probabilidad original uno de los dos valores de la distribución bivalorada seleccionada anteriormente: bien el valor i o su alias, a i. En primer lugar veremos que cualquier distribución de probabilidad discreta con soporte finito se puede expresar como una combinación de distribuciones de probabilidad

10 8 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias bipuntuales. Para ello, previamente necesitamos el siguiente lema. Lema.5. Cualquier distribución discreta p n ( ), con soporte finito de tamaño n, se puede expresar mediante una combinación de distribuciones, de la siguiente forma. p n (x) 1 n q j n (x) + n 1 n p n 1(x), (.1) donde q jn es una distribución bipuntual y p n 1 es una distribución con soporte de cardinal n 1. Demostración. Elegimos dos valores de la distribución p n (x): Un valor j cuya probabilidad no sea mayor que 1 n. p n(j) 1 n Un valor k cuya probabilidad sea al menos 1 n. p n(k) 1 n Evidentemente, tales resultados j y k, existen siempre. Entonces p n (x) se puede expresar como (.1), siendo y Comprobemos que p n 1 y q jn np n (j) si x j q jn (x) 1 np n (j) si x k 0 si x j, k 0 si x j p n 1 (x) n[p n(j)+p n(k)] 1 n 1 n p n 1 n(x) si x k si x j, k son funciones puntuales de probabilidad. p n 1 (k) 0, p n 1 (x) 0, x {1,..., n}\{j, k}.

11 .1. Generación de variables discretas 9 x j p n 1(x) n[pn(j)+pn(k)] 1 n 1 + x k,j n p n 1 n(x) q jn (j) np n (j) 0, q jn (k) 1 np n (j) 1 n 1 n 0. q jn (j) + q jn (k) 1 n n 1 x p n(x) 1 1 n 1 Además, p n (x) se puede expresar como puesto que p n (x) 1 n q j n (x) + n 1 n p n 1(x), Si x j, 1 n q j n (j) + n 1 n p n 1(j) 1 n np n(j) + 0 p n (j) Si x k, 1 n q j n (k) + n 1 n p n 1(k) 1 n (1 np n(k)) + n 1 n [ ] n[pn (j) + p n (k)] 1 n 1 1 n p n(j) + p n (j) + p n (k) 1 n p n(k) Si x j, k, 1 n q j n (x) + n 1 n p n 1(x) 0 + n 1 n [ ] n n 1 p n(x) p n (x) Teorema.6. Cualquier distribución discreta p n ( ) con soporte finito de cardinal n se puede escribir como una combinación equiprobable de n distribuciones bipuntuales: p n (x) 1 n q i (x) n Demostración. La demostración se sigue de forma inmediata aplicando el lema anterior n 1 veces; primero p n, luego a p n 1, etcétera. i1

12 30 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias Por construcción, los enteros {j 1,..., j n } son una permutación de {1,..., n}. Reordenando las distribuciones q jn, podemos escribir p n (x) 1 n q i (x), n donde las distribuciones q i son de la forma: F i x i q i (x) 1 F i x a i La construcción de las distribuciones q i (x) nos permite extender el anterior resultado del siguiente modo. Teorema.7. Cualquier distribución discreta p n (x) con soporte finito de cardinal n se puede expresar como una combinación equiprobable de n distribuciones bipuntuales q i (x) tal que i es un punto de masa de q i (x) i1 El algoritmo para generar valores de la variable original S sería el siguiente: 1. Generar dos números aleatorios independientes u 1, u.. Hacer I [nu] + 1. (I sigue una distribución uniforme en {1,..., n})- 3. Si u F i, tomar i como valor generado de X. Si u F i, tomar a i como valor generado de X... Generación de variables continuas..1. Método de inversión de la función de distribución La generación de valores de una variable continua mediante este método se basa en el siguiente resultado.

13 .. Generación de variables continuas 31 Teorema.8. Sea X una v.a. continua con función de distribución F X. Si U U(0, 1), entonces la v.a. Y F 1 X (U) tiene como función de distribución F X. Demostración. Se observa que F 1 X (U) existe siempre, puesto que 0 U 1. Sea y R, F Y (y) P (Y y) P (F 1 X (U) y) por la monotonía de F X P (U F X (y)) F X (y) El algoritmo de generación sería el siguiente 1.- Generar una valor u de una distribución U(0, 1)..- Obtener x como x F 1 X (u) La siguiente figura muestra el funcionamiento del método Figura.3: Inversión de la función de distribución

14 3 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias Evidentemente, la posibilidad de aplicar el método de la inversión dependerá de si la función de distribución puede ser invertida o no. Existen distribuciones para las cuales resulta imposible la evaluación directa de la inversa de la función de distribución. Si se puede, el método es adecuado, ya que requiere sólo un número aleatorio para cada valor generado y tiene pocos requerimientos de almacenamiento, ya que no necesita almacenar la tabla de la función de distribución. El tiempo de generación marginal depende del tipo de funciones involucradas en la definición de F 1. Es posible que este método no sea el más eficiente para generar determinadas variables. X Si F 1 y F son funciones de distribución y U 1, U U(0, 1) son independientes, entonces X 1 F 1 1 (U 1 ) y X F 1 (U) también son independientes. Ejemplo.9. Generación de una variable aleatoria U(a, b) Ejemplo.10. Generación de una distribución exponencial Ejemplo.11. Generación de una distribución logística Ejemplo.1. Generación de una distribución Weibull... Método de composición Este método se aplica cuando la función de distribución, F X (o de densidad, f X ) se puede como combinación lineal convexa de otras funciones de distribución (o de densidad). F X (x) p j F j (x) o f X (x) p j f j (x), con p j 0, p j 1 j J j J j J La idea es que podemos generar valores de la variable X generando valores de las variables X 1, X,... cuyas funciones de distribución son F 1, F,... y cuyas funciones de

15 .. Generación de variables continuas 33 densidad son f 1, f,.... Evidentemente, se espera que los valores de estas distribuciones sean más fáciles de generar que los de la variable X. Las probabilidades {p j } se pueden interpretar como la función puntual de probabilidad de una variable aleatoria discreta Y, con p j P (Y j). La primera parte del método consistiría en generar un valor de Y. Si el valor de Y es j, entonces se genera un valor de la variable X j. En definitiva, el algoritmo sería el siguiente: 1.- Generar un valor j procedente de una distribución discreta con soporte J y función puntual de probabilidad P (Y j) p j..- Generar un valor x j de la variable X j cuya función de distribución es F j. Condicionando por los sucesos (J j) se comprueba fácilmente la validez del método. P (X x) P (J j)p (X x J j) p j F j (x) F (x) j J j J Aplicación Supongamos que deseamos simular valores de una variable aleatoria X, cuya función de densidad es f(x), y que disponemos de otra variable aleatoria X 1, cuya función de densidad es f 1 (X), y que es más fácil de simular. Podemos utilizar el método de composición escribiendo: f(x) pf 1 (x) + (1 p)f (x), donde p es un número cualquiera en (0, 1) y ( ) f(x) pf1 (x) f (x). 1 p Como se simulan valores de f 1 (x) con probabilidad p y de f (x) con probabilidad

16 34 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias 1 p, si p es grande se simularán muchas veces valores de f 1 y pocas veces valores de f, por lo cual no tendría mucha importancia la dificultad de simular valores de f. Consecuentemente, se debe elegir p (0, 1) lo más grande posible de modo que f (x) sea función de densidad f (x) f(x) pf 1(x) 1 p y por lo tanto, 0, x f(x) pf 1 (x) 0, x p f(x) f 1 (x), p ínf x f(x) f 1 (x) x, (.) Ejemplo.13. Deseamos simular valores de una variable aleatoria X cuya función de densidad viene dada por: 0.4x si x [0, 1 f(x) ) 0.4x si x [ 1, 1) Si consideramos f 1 (x) 1I (0,1) (x), la función de densidad de una variable U(0, 1), se tiene que el p según (.) es p 0.9. Por consiguiente, escribiríamos donde f(x) f (x), ( ) f(x) 0.9 4x si x [0, 1 f (x) ) 0.1 4(1 x) si x [ 1, 1) Podemos generar valores de la variable X cuya función de densidad es f (x) mediante el método de la transformada inversa del siguiente modo: x x F (x) f (y)dy 4ydy 0 x si x [0, 1) 0 1 4ydy + x 1 4(1 y)dy x + 4x 1 si x [ 1, 1) 0 Se comprueba que la inversa de F (x) viene dada por: ( u ) 1 si u [0, 1 F 1 (u) ) 1 ( ) 1 1 u si u [ 1, 1) Por lo tanto, para generar un valor de X podemos seguir el siguiente esquema:

17 .. Generación de variables continuas Generar dos números aleatorios independientes u 1, u U(0, 1).. Si u 1 0.9, ir al paso 3. En caso contrario ir al paso Generamos f 1 (x) que es una U(0, 1). La salida de X es u. 4. Generamos f (x). Si u 1, la salida de X es ( u de X es 1 ( 1 u ) 1 ) 1. En caso contrario, la salida..3. Método de convolución Algunas variables aleatorias se pueden expresar como la suma de una serie de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. De una forma muy intuitiva se pueden generar valores de la variable original a través de la generación de las variables auxiliares. Supongamos X Y 1 + +Y m, con Y 1,..., Y m variables independientes que sabemos generar. Podemos llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Generar valores independientes y 1,..., y m de las variables Y 1,..., Y m. La salida de X es y y m. Ejemplo.14. Generación de una variable Erlang de parámetros m y λ...4. Método de aceptación y rechazo por envolvente Método simple Consideremos X una variable aleatoria cuyo soporte es un intervalo finito [a, b] sobre el que la función de densidad es acotada y no nula. Sea c máx x [a,b] f(x). El

18 36 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias procedimiento es el siguiente: 1. Generar dos números aleatorios u, v independientes.. Hacer x a + (b a)u, x es un valor de una variable aleatoria U(a, b). Hacer y cv, y es un valor de una variable aleatoria U(0, c). 3. Calcular f(x). Si y f(x), entonces se acepta x como valor generado de la variable aleatoria X. En caso contrario, volver al paso 1. La siguiente figura muestra el funcionamiento del método Figura.4: Método de aceptación y rechazo por envolvente Los pasos 1 y generan puntos (X, Y ) uniformemente distribuidos sobre el rectángulo con dimensiones c (b a). Si el punto (x, y) cae bajo la curva f(x), entonces en el paso 4 se acepta x; en caso contrario el método rechaza x y realiza otro intento. La región entre el rectángulo y la curva es la que determina el rechazo de la observación. La probabilidad de rechazo será el cociente entre el área de esta zona y el área del rectángulo. La región de aceptación tiene área 1 por ser f(x) una función de densidad. Por lo tanto, la probabilidad de aceptar es 1 c(b a).

19 .. Generación de variables continuas 37 Teorema.15. El método de aceptación y rechazo simple genera valores según la distribución de la variable aleatoria X. Demostración. Sean c 1, c R tales que a < c 1 < c < b. Sea R la región de la rectángulo [c 1, c ] [0, c] bajo la curva y f(x). La probabilidad de generar un valor de X entre c 1 y c es P (c 1 < X < c Y f(x)) P (c 1 < X < c, Y f(x)) P (Y f(x)) P ((X, Y ) R) P (Y f(x)) c c f(x)dx 1 c(b a) 1 c(b a) c c 1 f(x)dx Ejemplo.16. Sea X Be(, ). La función de densidad de X es f(x) 6x(1 x)i (0,1) (x) X tiene soporte el intervalo [0, 1], en el que f no se anula y está acotada; su valor máximo es c 1, 5. Por lo tanto, si aplicamos el método de aceptación y rechazo simple, la probabilidad de aceptar es 1 c(b a) 3. La versión simple del método no es eficiente cuando el valor de X se rechaza con una probabilidad grande, ya que esto representa desperdiciar dos números aleatorios. La generalización del método, que veremos a continuación, aumenta la eficiencia del mismo a la vez que relaja el requerimiento de que el soporte sea finito. (función de densidad no necesariamente acotada).

20 38 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias..4.. Método general Se quiere generar valores de una variable aleatoria X con función de densidad f y con función de distribución F. El método de rechazo proporcionará valores de una distribución diferente, Y, que llamaremos distribución envolvente, con función de densidad g y función de distribución G, y se aplicará un criterio de aceptación o rechazo con el que los valores de la variable Y aceptados tendrán la distribución deseada. La distribución envolvente será elegida teniendo en cuenta dos factores: (i) la generación de valores de Y debe ser rápida y exacta, y (ii) g debe imitar a f lo más posible, en otro caso la proporción de valores rechazados sería inaceptablemente alta. Sea f la función de densidad de X y sea g una función de densidad que verifica: f(x) Mg(x), x, con M > 1. El mecanismo de aceptación y rechazo por envolvente funciona del siguiente modo: 1. Generar un valor y de la variable aleatoria Y cuya función de densidad es g. Generar un valor u de una variable aleatoria U(0, 1).. Si u f(y), se acepta y como valor simulado de la variable aleatoria X. En caso Mg(y) contrario, volver al paso 1. Teorema.17. El método de aceptación y rechazo genera valores de la variable aleatoria X. Demostración. Hay que demostrar que ( Y U f(y ) ) X Mg(Y ) Como Y y U son independientes, la función de densidad conjunta de (Y, U) es h(y, u)

21 .. Generación de variables continuas 39 g(y) f U (u) g(y). Ahora, P (X t) P ( Y t U f(y ) ) Mg(Y ) Examinemos en primer lugar el numerador de la expresión (.3): P ( Y t, U f(y ) ) t Mg(Y ) t t 1 M 0 t g(y) g(y) 1 M F (t) f(y) Mg(y) ( ) P Y t, U f(y ) Mg(Y ) ( ) (.3) P U f(y ) Mg(Y ) h(y, u)dudy ) ( f(y) Mg(y) 0 du dy ( ) f(y) dy Mg(y) f(y)dy A continuación, examinamos el denominador de la expresión (.3): P ( U f(y ) ) Mg(Y ) R M 1 M f(y) Mg(y) g(y) g(y) + h(y, u)dudy ( f(y) ) Mg(y) 0 du dy ( ) f(y) dy Mg(y) f(y)dy Volviendo a la expresión principal (.3) y utilizando los cálculos obtenidos anteriormente, se obtiene que: P (X t) P ( Y t U f(y ) ) Mg(Y ) ( ) P Y t, U f(y ) Mg(Y ) ( ) P U f(y ) Mg(Y ) 1 F (t) M 1 M F (t)

22 40 Tema. Métodos generales de generación de variables aleatorias Se denomina eficiencia muestral a la probabilidad de aceptar un valor de x en el paso del método descrito. En la demostración del teorema anterior se recoge que ( eficiencia muestral P U f(y ) ) 1 Mg(Y ) M. Para que el método sea lo más eficiente posible, la elección óptima de M es aquella que minimiza la probabilidad de rechazo. Por lo tanto, hay que escoger M el menor valor posible. Es fácil comprobar que este valor de M se corresponde con M máx x f(x) g(x) Nota. El método simple es un caso particular del método general en el que la distribución envolvente corresponde a una distribución uniforme en el intervalo (a, b) y M c(b a). La interpretación gráfica del método es la siguiente: Figura.5: Método de aceptación y rechazo por envolvente

23 .. Generación de variables continuas 41 Ejemplo.18. Generación de una distribución normal estándar utilizando como distribución envolvente una distribución logística L(0, 1). Ejemplo.19. Generación de una distribución doblemente exponencial (distribución de Laplace) utilizando como distribución envolvente una distribución logística L(0, 1).

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